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一类分形函数的分数阶微积分及其维数

张慧琛  
【摘要】: 近年来有关分形函数的研究引起人们广泛的关注,分形函数以Weierstrass函数为典型函数,人们对它的维数以及它的分数阶微积分函数的维数进行了系统的研究。本文主要针对分数阶微积分的定义展开讨论,得出了它的一些性质,并且讨论了一类更一般的分形函数,研究了这类分形函数的分数阶微积分函数及其维数。论文的主要研究工作详述如下: 第一,我们定义了分形函数的分数阶积分和分数阶微分且针对分数阶微积分的定义研究了它的一些性质。 第二,我们讨论了一类分形函数的分数阶微积分函数以及它们的K—维数。 第三,我们估计了这类分形函数的分数阶微积分函数的计盒维数。 主要结论: 对一类分形函数:W_θ(t)=sum from n=1 to∞(a~ncos(b~nx+θ_n)) (0<a<1,b>1)它的v阶分数阶积分函数是I_θ(t,v):=D~(-v)(W_θ(t))=sum from n=1 to∞(a~n(cosθ_nC_t(v,b~n)-sinθ_nS_t(v,b~n))) (0<ab~(-v)<1)μ阶分数阶微分函数是g_θ(t,μ):=D~μ(W_θ(t))=sum from n=1 to∞(a~ncosθ_n/Γ(1-μ)t~(-μ)-(ab)~nconθ_nS_t(1-μ,b~n)-(ab)~nsinθ_nC_t(1-μ,b~n)))(b>1,0<a<1,0<ab~μ<1) 对于函数图像的K-维数,我们获得如下结论: 定理0.1设0<a<1,b>1,0<ab~(-v)<1,0<ab~μ<1,I_θ(t,v),g_θ(t,μ)是如上定义的分数阶积分函数与分数阶微分函数,当a充分小,b充分大时,我们有其中Γ(f,[a,b])表示函数f在区间[a,b]上的图像,δ为取定的任意小的正数。 对于函数图像的计盒维数,我们有下列结论: 定理0.2设0<a<1,b>1,1/b<ab~(-v)<1,1/b<ab~μ<1,I_θ(t,v),g_θ(t,v)是如上定义的分数阶积分函数与分数阶微分函数,我们有其中Γ(f,[a,b])表示函数f在区间[a,b]上的图像,δ为取定的任意小的正数。


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