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非线性离散特征值问题的多解性

乔静  
【摘要】: 本文利用非线性泛函分析中的变分方法,结合临界点理论,特别是临界群与Morse理论,研究了非线性离散特征值问题解的存在性与多重性。其中A为n阶正定矩阵,参数λ0,F∈C~1(R~n,R~1),▽F表示F的梯度,即▽F(u)=(?)~T。 全文共分四章。 第一章主要介绍了模型(1.1.1)的研究背景、研究方法及应用方向等。 第二章导出了问题(1.1.1)所对应的能量泛函J,从而问题(1.1.1)的解等价于泛函J的临界点。并且介绍了本文所要用到的有关临界点的基本理论。 第三章首先利用强单调映像原理、山路引理及环绕定理等研究了问题(1.1.1)解的存在性与唯一性,得到如下结论: 定理3.1.1假设存在常数a0,使得(▽F(u)-▽F(v))·(u-v)≤a‖u-v‖~2对任意的u,v∈R~n成立,则当λ∈(0,λ_1/a)时,问题(1.1.1)在R~n中有唯一解。 定理3.1.2假设(?)F(u)/(‖u‖~2)a,a0,则当λ∈(0,λ_1/(2a)时,问题(1.1.1)在R~n中至少有一个解。 定理3.1.3假设F(θ)=0,并且存在常数R0,μ∈[0,1/2),当‖u‖R时F(u)≤μu·▽F(u)。同时,存在常数b0,c0,使得(?)F(u)/‖u‖~2b,(?)F(u)/‖u‖~2c。则当λ∈(λ_1/(2b),λ_1/(2c)时,问题(1.1.1)在R~n至少有一个非零解。 定理3.1.4假设F(θ)=0,并且存在常数R0,μ∈[0,1/2),当‖u‖R时,F(u)≤μu·▽F(u)。同时,存在常数b0,c0,使得当u∈R~n时,F(u)≥b‖u‖~2,(?)F(u)/‖u‖~2c。则对于任意的正整数1≤in,当λ∈(λ_i/(2b),λ_(i+1)/(2c)时,问题(1.1.1)在R~n中至少有一个非零解。 其次,利用一些多解定理研究了问题(1.1.1)解的多重性,得到如下结论: 定理3.2.1假设F(θ)=0,▽F(θ)=θ,(?)F(u)/‖u‖~2a,并且(?)F(u)/‖u‖~2A,(?)F(u)/‖u‖~2B。则当λ∈(λ_k,λ_(k+1)(?)(0,λ_1/(2a)时,问题(1.1.1)在R~n中至少有两个非零解,其中k是{1,2,…,n-1}中的某个正整数,常数a,A,B0。 定理3.2.2假设F(u_1,u_2,…,u_n)在R~n上具有二阶连续偏导数,记矩阵(?)。如果下列条件满足: (1) F(θ)=0,▽F(θ)=θ; (2) (?)F(u)/‖u‖~2a,a0; (3)存在正整数k∈{1,2,…,n},使得(?)F(u)/‖u‖~2λ_k/(2λ)。则对任意的λ∈(0,λ_1/(2a)),并且1/λ不是矩阵A~(-1)F"(θ)的特征值时,问题(1.1.1)在R~n中至少有两个非零解。 定理3.2.3假设下列条件满足: (1) F(u_1,u_2,…,u_n)在R~ n上具有二阶连续的偏导数;则对任意的λ0,问题(1.1.1)在R~n中至少有三个不同的解。 定理3.2.4假设下列条件满足: (1) F(u_1,u_2,…,u_n)在R~n上具有二阶连续的偏导数;则对任意的λ0,问题(1.1.1)在R~n中至少有三个不同的解。 定理3.2.5假设下列条件满足: (1) F(θ)=0; (2) F(u)=F(-u),u∈R~n; (3) (?)F(u)/‖u‖~2a,a0; (4) (?)F(u)/‖u‖~2A0: (5)存在K∈{1,2,…,n}使得a/Aλ_1/(λ_k)。则当λ∈(λ_k/(2A),λ_1/(2a))时,问题(1.1.1)在R~n中至少有2k个解。 第四章简述了本文所得结论在差分系统中的具体应用,并且举例说明了假设条件的合理性与可实现性。 全文所得结论都是新的,并且包含、推广了一些已有的结果。


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