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随机环境中依人口数分枝过程的渐近性

王丽  
【摘要】: Galton和Watson(1873)在讨论英国贵族姓氏继承与谱系消亡问题中建立了一种新的随机过程模型——经典分枝过程.在经典分枝过程中假设不同个体遵循同样的分布律而独立繁衍后代.Klebaner(1983)研究依人口数分枝过程模型,即子代个体数目的分布仅依赖于其父代人口数的分枝过程模型.并在一些合理的假设下,得到了人口最终要灭绝的结论.而Santana和Garcia(1989)研究依人口数和代数的分枝过程模型,并给出了人口数可以稳定于两个已知数之间的条件.但由于自然界中生物种群的繁衍经常受到随机环境变化因素的影响,上述模型均未考虑这类因素,因此所得结论的应用必然会受到不同程度的限制.在分枝过程中引入随机环境可以弥补这一缺陷. Jagers和Lu(2002)提出并讨论的随机环境适应一个渐增滤子的随机环境分枝过程模型,即随机环境{ξ_n}适应一个σ-域族{(?)_n}的随机环境分枝过程{Z_n},其中的σ-域(?)_n既可带有分枝过程本身历史的信息,又可含有独立于分枝过程的其它随机影响因素的信息,从而使得随机环境不仅受分枝过程本身历史的影响而依赖于人口数,还可同时受到与分枝过程无关的其它随机因素的影响.特别,(?)_n可以定义为由随机变量Z_n及ξ_n在Ω上诱导的σ-域,即(?)_n=σ(Z_n,ξ_n),其中Z_n代表第n代人口的个体数目,ξ_n表示第n代除人口数外的环境因素.并假设{ξ_n}的取值与{Z_n}无关.这时易见,{Z_n}为一Markov链.Han-Xing Wang(1999)提出的随机环境依人口数分枝过程模型,就是这类模型的一个特例.本文考虑随机环境依人口数分枝过程模型,所做的主要工作为: 1.讨论了{Z_n}的灭绝概率. 2.给出P{Z_n→∞}=0的两个充分条件. 3.给出了过程{Z_n}的一些性质. 4.给出了人口数稳定于两个已知数之间的充分条件.


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