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分数阶微积分与分形插值函数的研究

梁芸芸  
【摘要】: 分数阶微积分与分形,特别是分形函数紧密相连,是研究分形函数的一个有力工具。分形插值函数是由一类特殊的迭代函数系统生成的分形函数,用分数阶微积分去研究它具有重要的意义。本文针对Riemann-Liouville分数阶微积分和分形插值函数,做了如下研究: 第一,阐述了分形、分形维数、分数阶微积分、分形插值的发展及其研究现状,介绍了盒维数、Riemann-Liouville分数阶微积分的基本概念和分形插值函数的基本理论。 第二,引入了α阶连续函数的概念,研究了分数阶积分的连续性及H?lder连续性,给出了分数阶积分算子的范数,并讨论了分数阶积分算子的紧性。 第三,首先基于分形插值函数的迭代函数系统,给出了生成其分数阶微积分的迭代函数系统,进而讨论了分形插值函数分数阶积分的H?lder连续性,给出了该函数分数阶微分存在且连续的充分必要条件;其次给出了分形插值函数图像与其分数阶微积分函数图像的维数公式,以及维数之间的关系,结果表明分数阶积分降低分形插值函数图像的维数,分数阶微分增高分形插值函数图像的维数。


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