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一类Weierstrass型函数的分数阶微积分及其图像的分形维数

李本秀  
【摘要】: 近年来Weierstrass函数作为经典的分形函数引起了人们的广泛关注,而分数阶微积分的发展为其注入了新的生机。本文利用Riemann-Liouville分数阶微积分的概念讨论了一类更一般形式的分形函数,做了如下研究: 首先,阐述了分形及分形维数的研究现状,介绍了本文所需用到的几种分形维数,Riemann-Liouville分数阶微积分的数学基础。 其次,在基函数φt k为β阶H?lder连续周期函数的条件下,讨论了一类推广的Weierstrass函数的连续而处处不可微性,并通过对维数界的估计得到了其图像的盒维数。在Riemann-Liouville分数阶微积分的意义下,导出了该函数的分数阶微分与积分函数形式,并讨论了微积分函数的连续性,给出了图像的K-维数和盒维数。 最后,将经典的Weierstrass函数的基函数扩展为Lipschitz函数,在α≥1的情况下讨论了这类函数)及其Riemann-Liouville分数阶微分与积分函数,导出该函数及其分数阶积分函数图像的Hausdorff维数、K-维数与盒维数,并通过微分函数的连续性给出了其图像分形维数的上、下界估计。同时利用Matlab绘制出不同α值时的函数图像与分数阶微分函数图像,从而使结果更直观。


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