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非线性固体结构中的孤立波与混沌

张涛  
【摘要】:20世纪60年代,自然科学的各个学科分支出现了非线性问题的研究热潮,孤子、湍流、混沌、分形及复杂系统等新的物理现象被揭示,表明非线性科学已经成为现代科学发展的一个重要标志。在这一热潮推动下,固体结构中的非线性波的传播和混沌运动的研究也取得了很大进展。本文在综述已有研究的基础上,研究了几类典型结构元件中孤立波的传播特征和混沌行为,主要工作和成果如下: 1.在Bernoulli-Euler梁、Rayleigh修正梁和Timoshenko梁三种经典梁理论的基本方程中,引入有限挠度和轴向惯性,导出了相应的支配弯曲波传播的非线性偏微分方程组。对这些方程进行了定性分析,并采用Jacobi椭圆函数展开法进行求解,给出了精确的周期解及模数m→1退化情况下的孤立波解和冲击波解。 2.在上述三类有限挠度梁的运动方程中引入外加载荷和阻尼对系统的摄动,利用Melnikov方法给出了出现Smale马蹄意义下混沌的临界条件,揭示了孤立波与混沌两大类非线性现象之间的联系。 3.研究了埋置于弹性地基内充液压力管道中非线性波的传播。假定管壁材料是线弹性的,管中流体为不可压理想流体,地基反力采用Winkle线性地基模型,建立了地基、管壁与流体耦合作用的非线性运动方程组,借助约化摄动法(RPT)得到KdV方程,表征着系统有孤波解。 4.研究了充有压力流体的粘弹性管中孤立波的传播特性。管壁是由Kelvin-Voigt模型描述的粘弹性材料,流体的运动为一维无粘流动,利用约化摄动法(RPT)从支配耦合系统运动的非线性偏微分方程组得到了KdV-Burgers方程。根据粘性大小的不同,系统有振荡的孤波解或冲击波解,并利用数值解给出其传播的图象。 5.考虑血液流动的对流项及血管壁的大变形,采用二维情况下Hilmi Demiray建议的管壁材料的应变能函数,研究了动脉血管中非线性压力波的传播。在长波近似情况下,借助约化摄动法(RPT)得到具有孤子解的KdV方程。从临床角度讨论了参数对解的影响。 6.对于轴压圆柱壳经受轴向和横向扰动时的非线性振动,分别采用Donnell-Kármán大挠度理论和环向对数应变建立了两种非线性运动方程。借助Bubnov-Galerkin法将它们分别转化为含有三次和二次非线性的常微分方程。利用次谐轨道和同宿轨道的Melnikov函数给出了前屈曲和后屈曲情况下发生Smale马蹄混沌的临界条件。使用Matlab软件计算了分岔图、相图、时程曲线和poincaré映射,给出了混沌运动的数字特征。


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