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几类权函数变号的微分算子的谱

杨秋霞  
【摘要】:本文主要围绕权函数变号的常微分算子的谱分析展开研究. 手先研究了一类两个边界条件依赖于特征参数并且带有转移条件的权函数变号的Sturm-Liouville算子.由于两个边界条件均出现了谱参数,首先在Krein空间K:=(Lr,θ2(I)(?)Cθρ1(?)Cρ2[·,·])中定义一个与其相关的新算子A,使得所考虑问题的特征值与新算子的特征值相同,特征函数是相应特征函数的第一个分量.我们分别就新算子的自共轭性,实特征值的上下无界性,特征值的单重性,渐近性,特征函数的渐近表达式极其完备性,Green函数,预解算子等内容进行了全面深入的分析,并将其推广到具有有限个转向点的情形,其中预解算子是用Green函数来刻画的.研究过程中,我们尤其注意到了ρi(i=1,2)与目的符号对算子A的谱性质的影响. 其次研究了一类正则四个边界条件依赖特征参数并且权函数变号的不连续四阶微分算子.由于四个边界条件均出现了谱参数,首先在Krein空间K:=((Lr,θ2(I)(?)Cθρ1(?)Cθρ2(?)Cρ3(?)Cρ4[·,·])中定义一个与其相关的新算子A.我们分别就新算子的自共轭性,实特征值的上下无界性,特征值的渐近性,特征函数的完备性,Green函数,预解算子,具有有限个转向点的四阶微分算子的谱分析等内容进行了深入的研究.与二阶情形相比,四阶的情形更为复杂.特别的,利用Green公式,验证了新算子是对称算子,并且通过基本解的建立得出问题的特征值是整函数ω(λ)的零点,为下一步研究特征值的性质奠定了基础.而且我们还注意到了在某一权函数下,θ的符号决定了空间Lr,θ(I)从而影响了算子A的点谱性质. 再次,我们考虑了奇型不定Sturm-Liouville算子与高阶微分算子的局部可定型性,这里权函数r(x)更具译般化,其转向点的个数不是唯一的.引进算子A_,Aab和A+,其中A_是反-Hilbert空间Lr_2((-∞,α))中算子Amin-的自伴扩张,A+是Hilbert空间Ly+2((b,+∞))中算子Amin+的自伴扩张且Aab是Krein空间Lrab2((a,b))中算子Sab的自伴扩张.如果算子A_上半有界并且A+下半有界,这意味着Lr2(R).上算子A的预解集非空,其本质谱满足σess(A)=σess(A_)Uσess(A+),得出算子A住∞处具有局部可定型性. 最后,我们又考虑了一类两端奇型的不定Sturm-Liouville算子的相似性,这里权函数r(x)的转向点的个数也不唯一.给出算子A的边界三元组,借助于相对应的抽象的weyl函数,得出算子A同自伴算子相似的必要条件和充分条件,并且列举了儿个例子验证了这些结论. 本文共分六章,第一章引言,介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果;第二章简单介绍常微分算子的Krein空间方法;第三章研究了一类具有转移条件且边界条件依赖于特征参数的带有不定权函数的Sturm-Liouville算子的谱性质;第四章研究了一类边界条件依赖于特征参数并且权函数变号的不连续四阶微分算子的谱性质;第五章考虑了奇型不定Sturm-Liouville算子与高阶微分算子的局部可定型性;第六章讨论了一类两端奇型的二阶不定Sturm-Liouville算子的相似性.


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