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具有有限谱的微分方程边值问题及其矩阵表示

敖继军  
【摘要】:本文主要围绕具有有限谱的微分方程边值问题(包括四阶问题;2n阶问题;带有转移条件的Sturm-Liouville问题;带有转移条件且边界条件中含有谱参数的Sturm-Liouville司题等),以及这些问题与有限维矩阵特征值问题之间的等价关系进行研究. 1964年,Atkinson在其著名的专著“Discrete and Continuous Boundary Value Problems"[2]中提出了二阶的Sturm-Liouville问题-(py')'+qy=Awy(在J=(α,b)上定义,其中-∞αb+∞),在某些条件下可能存在有限谱,但当时他并没有给出任何定理或例子.为了证实Atkinson的上述论断的合理性,在2001年Kong, Wu和Zettl[40]构造了一类具有有限个特征值的Sturm-Liouville问题.他们得出,对于任何正整数m,都可以构造出一个二阶的Sturm-Liouville问题,其谱恰好由m个特征值所构成,并且通过进一步分析,他们还得出了这m个特征值在非自共轭边界条件下可位于复平面内任何位置,在自共轭边界条件下可位于实轴上任何位置的结论.在2009年,Kong, Volkmer, Zettl [39]在上述结论丛础上,进已步给出此类问题的矩阵表示(即具有有限谱的二阶Sturm-Liouville问题与有限维矩阵特征值问题之间的等价关系).这说明两类问题之间在某些特殊情况下可以相互“转化”,从而对其中任一类问题丰富了研究的理论方法. 本文在以上结论的基础上,将具有有限谱的微分方程边值问题的结论,以及对应的矩阵表示问题推广到四阶边值问题,甚至是2n阶边值问题,以及带有转移条件的或边界条件中含有谱参数的Sturm-Liouville问题上去. 首先,我们研究了具有有限谱的四阶边值问题.我们通过对区间的特殊分割以及系数在每个子区间上满足一定的特殊条件,得出判断函数的迭代公式,从而可以得出判断函数是关于谱参数λ的有限次多项式的结果.然后根据判断函数的零点就是问题本身特征值的性质,得出四阶边值问题存在有限个特征值的结论.由于阶数的增加,问题也变得相当复杂.通过大量的分析和推导,我们提出了适合四阶边值问题有限谱结论的条件并给出了四阶边值问题判断函数的迭代公式,这是解决这一问题的关键;进一步,我们又考察了具有有限谱的2n阶边值问题,将判断函数的迭代公式从数学归纳法的角度进行了推广,并且得出了边值问题的最大特征值个数与方程的阶数以及对区间的分割数之间的关系. 由于不论是微分方程边值问题还是矩阵特征值问题都有其实际的应用背景,因此清楚地了解在某些特殊情况下两者之间的关系,不论是从理论上还是在应用上都是有重要意义的.因此,我们研究了具有有限谱的四阶边值问题与有限维矩阵特征值问题之间的等价关系.通过对一类称作为Atkinson类型的四阶边值问题的研究,我们给出了其矩阵表示.同样由于阶数的增加,矩阵形式也变得复杂,为此我们提出了块矩阵的概念,得出四阶边值问题的矩阵表示在块矩阵意义下为三对角形式.不仅如此,这些矩阵还具有对称形式的良好特性. 同时本文还研究了一类为很多数学、物理工作者所关注的具有某种“不连续性”的微分算子,即内部点处具有转移条件的Sturm-Liouville问题.我们考察了具有有限谱的带有转移条件的Sturm-Liouville问题及其矩阵表示问题.对于这类问题,我们引入了与转移条件相关矩阵的概念,给出了带有转移条件的判断函数的迭代公式,从而证明了特征值个数的有限性.而且,由于转移条件的出现,特征值的个数将会受到影响,我们给出例子,说明了有限谱的结论及其与转移条件的关系;在考虑这类问题的矩阵表示时,不仅考虑了分离型边界条件的情况,还考虑了耦合型边界条件的情况,只是由于转移条件的出现,矩阵不再是Jacobi或循环Jacobi巨阵形式,我们引入了‘几乎Jacobi'矩阵的概念,它是一类广义Jacobi矩阵. 最后,文章还研究了一类边界条件中含有谱参数的Sturm-Liouville问题,考虑这类问题的有限谱及矩阵表示问题.这类问题的特征值个数也会受到谱参数边界条件的影响,且矩阵表示中的矩阵为一类广义Jacobi矩阵. 全文共分为八个部分:一、本文所研究问题的背景与本文的主要结果;具有有限谱的四阶微分方程边值问题;三、具有有限谱的四阶微分方程边值问题的矩阵表示;四、具有有限谱的2n阶微分方程边值问题;五、具有有限谱的带有转移条件的Sturm-Liouville问题;六、具有有限谱的带有转移条件的Sturm-Liouville问题的矩阵表示;七、具有有限谱的带有转移条件且边界条件中含有谱参数的Sturm-Liouville问题;八、具有有限谱的边界条件中含有谱参数的Sturm-Liouville问题的矩阵表示.


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