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非线性发展方程的精确解Hamilton结构与Painlevé性质

斯仁道尔吉  
【摘要】:本文主要研究孤立子与可积系统理论中精确求解非线性发展方程,构造有限维可积Hamiton系统和Painlevé性质的应用等几方面。第二章中研究了非线性发展方程的精确解:用双曲正切函数法中的双曲正切函数换为Bernoulli方程的解的方法而给出KdV-Burgers-Kuramoto方程的精确解并用非线性电波方程为例说明了平衡数m和Bernoulli方程中非线性项的次数n有着多种选择的可能,它不但使我们能找到已知解而且也能找出新的根式孤立波解;用齐次平衡法给出一个曲面波方程的精确孤立波解,并提出直接用齐次平衡法寻找非线性发展方程的孤立波解、非孤立波解的方法,作为应用给出2+1维色散长波方程组等的定态解、孤立波解、非孤立波解等;用Symbolic-computation-basedMethod获得BLMP方程和2+1维破裂孤子方程的类孤子解;提出sine-Gordon型方程的直接求解方法,并获得sine-Gordon方程、双sine-Gordon方程、sinh-Gordon方程、MKdV-sine-Gordon方程和Born-Infeld方程等的精确孤立波解。第三章研究了构造有限维可积Hamilton系统的方法:引入修正的Jacobi-Ostrogradsky坐标,把AKNS族和Dirac族的非正则约束流变换到有限维可积Hamilton系统,进而给出约束流的r-矩阵、经典Poisson结构、第二组守恒积分并证明了非正则约束流的完全可积性;利用AKNS谱问题与Geng谱问题之间的规范变换,建立了约束流之间的规范等价关系,从而由AKNS族约束流的Hamilton结构、Lax表示和r-矩阵得出Geng族约束流的Hamilton结构、Lax表示和r-矩阵;以经典Boussinesq族为例说明了在不同坐标下,同一个约束流具有不同的Hamilton形式。第四章研究了Painlevé性质的应用:用Painlevé截断展开式得到混合KdV-Burgers方程和一类扩散方程的Auto-B(?)cklund变换和精确解。


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