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非线性发展方程的无穷维Hamilton方法

任文秀  
【摘要】: 无穷维Hamilton系统是一类具有特别结构的偏微分方程(组),它在非线性科学研究中占重要地位。本文以非线性发展方程为研究对象,在广义Poisson括号直接做定义的观点下,主要围绕bi-Hamilton结构、Hamilton线性正则表示等方面的内容对Hamilton可积性与无穷维Hamilton形式化问题做了探讨。不仅借助Magri理论,证明了一个新的无穷维Hamilton可积系统,而且从微分算子演算方法上,获得了一个实现某类Hamilton正则形式的有效机械化算法,又更进一步地提出将AC=BD理论引进到Hamilton系统的研究思想。 其具体研究工作共分五章,第一章首先从考察Hamilton系统的变迁出发,由辛流形过渡到Possion流形,简要概述了其定义式的三种转型,认识到Hamilton方程完全由所约定的Poisson括号决定,且逐步形成对Hamilton框架的一个分类观点;其次针对无穷维Hamilton系统的辛算法、算子谱理论、Hamilton形式化等问题的研究进展与概况做了综述,阐明了无穷维Hamilton方法对一类有着深刻力学背景的非线性发展方程而言是重要的研究工具;然后用Hamilton结构与可积系统的关系说明了本文的选题背景。 第二章以无穷维Hamilton算子为中心,介绍了一般(非线性)的无穷维Hamilton系统所涉及到的理论和相关概念,并利用Magri的bi-Hamilton理论,对一个发现不久的三阶非线性发展方程的Hamilton可积性做了完整的证明。通过两个关键环节:一是发现该方程的一个新Muria变换;二是证实由S.Yu.Sakovich获得的其循环算子具有遗传属性,使它的Hamilton结构得以确定。同时,也给出一些与之有关的代数属性,如谱系、守恒律等,且对一类特殊Hamilton算子进行了额外的讨论。 第三章利用B.Fuchssteiner和A.S.Fokas定理,分析了构建非线性发展方程允许相容multi-Hamilton形式的方法,并基于循环算子证明了上述三阶方程具有tri-Hamilton结构。相应地,获得了该方程的第三条新型守恒律,为说明通过构建Hamilton结构来揭示守恒律这个途径提供了实例。 在第四章里,我们探讨了数学机械化思想在Hamilton正则“(?)/(?)x”-型表示上的应用。在解决反问题的途径之一;矩阵多元多项式带余除法基础上,找到了新突破口-微分算子分解途径,获得了一个直观简明的代数方法,将反问题的实现转化为求解一个固定算子方程组的Hamilton正则解,并作为方法的应用,提供了几类方程详细的计算过程及结果,具有实际意义。 最后,第五章为了揭示我们所获得算法的应用体系,扩展了AC=BD理论的适用领域,首次提出将该思想引入Hamilton体系的观点。


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