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Lagrange系统的近似对称性与守恒量研究

张浩  
【摘要】:Lagrange系统是一类极其重要而又相对简单的系统,在力学问题中,它仅用一个函数L就可描述系统的动力学性质。若某系统能转化为Lagrange系统,则可以在该框架下对其进行较方便的讨论和求解。寻求系统的对称性与守恒量,不但在数学上有着重要意义,同时也反映了深刻的物理本质。对称性原理是物理学中更高层次的法则,所有守恒量皆源于其背后隐藏的对称性。 本文基于经典分析力学与近代对称性理论,较为详细的探讨了Lagrange系统的对称性与守恒量理论,尤其是研究了一类带有相对小参数的Lagrange系统,尝试对现有的理论进行一点完善和补充。全文主要工作如下: 首先,探讨和总结了Lagrange系统的对称性与守恒量理论,该系统下的Noether对称性是一种特殊的Lie对称性,指出求解该系统的对称性可以统一用Lie对称性的方法。本文列举的算例1(谐振子)与算例2(Kepler问题)是经典力学中的两个典型的模型,文中利用Lie对称性方法求解出了它们全部的独立的守恒量,并分析了所得守恒量的物理意义。特别对于算例2,本文给出了一种利用Lie对称性求解Kepler问题全部独立守恒量的较为新颖的方法。 其次,由求解常微分方程的摄动方法思想结合对称性理论引进了近似对称性理论,研究了一类含有小参数的Lagrange系统,建立了这类含小参数的Lagrange系统的近似对称性与近似守恒量理论。文中还对近似对称性与近似守恒量进行了划分,指出稳定的近似对称性与稳定的近似守恒量才具有实际意义,同时结合算例1与算例3具体展示了近似对称性与近似守恒量的含义。在算例4中,详细分析与探讨了近似对称性理论所得到的结果。文中指出了近似对称性方法的优势,即它能降低求解这类含小参数Lagrange系统的对称性的难度,它能借助无摄动系统的对称性逐级递推求解摄动后系统的近似对称性,并且随着计算阶数的提高逐级逼近精确对称性。这也是该方法的数学本质,从而对这种近似对称性理论有了更为深刻的认识。最后,总结了本文所得到的主要结果,并对未来的研究方向进行了展望。


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