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基于Hamilton体系的非线性浅水波分析方法

董俊哲  
【摘要】:水波问题是水力学的重要课题,江河湖海等相关工程问题均涉及到水波问题。在水波问题中,浅水波是一类重要的分支,浅水波问题的特点是水平方向的尺度远远大于水深。描述浅水波问题的基本方程可归结为典型的非线性双曲型方程。所以研究浅水波方程的基本方法,包括解析和数值方法,以及解的性质和规律,具有重要的科学意义和工程应用价值。然而,由于浅水波问题自身的复杂性和求解的困难性,目前的传统方法在研究该问题时不得不做出很多假定,从而偏离了物理问题本身,使得研究遇到各种的困难。而根据力学中的Hamilton原理研究浅水波问题,采用现代数学工具直接得到基本控制方程,推导过程中始终满足系统的守恒性质,克服了传统方法的不足,为解决浅水波问题提供了一条新的道路。 本文分别研究了包含自由表面的单层流体和双层流体的波动问题。从建立浅水波方程的最基本的能量出发,构造Hamilton函数,通过变分原理推导出满足辛性质的Hamilton正则方程。根据Hamilton正则方程的特性,分别得到线性方程的解析解和非线性方程的行波解。对于高阶Hamilton正则方程,构造和建立了有限元方法,并进行数值计算。根据双曲方程的性质,提出一种应用于溃坝问题的特征线-欧拉格式。在上述研究的基础上,对三峡升船机船厢的水动力学问题进行数值模拟。 本文的具体研究内容如下: (1)单层流体的Hamilton体系方法。 引入两个小参数α和β,分别在一维、轴对称和二维空间问题中,对速度势函数进行小参数展开,构造出满足浅水假定的Hamilton函数,通过变分得到相应的Hamilton正则方程。根据近似的阶次,得到用于研究线性问题的Hamilton零阶近似方程和用于研究非线性问题的Hamilton高阶近似方程。对于由零阶近似方程所描述的线性问题,通过建立辛空间得到一维、轴对称以及特定区域内二维方程的基本解和辛本征解。此外,针对一维线性浅水波问题,给出满足保辛性的差分格式,并分析方程推导对边界条件的影响。根据一维的Hamilton一阶近似方程,可以得到由椭圆余弦函数所表达的行波解,并由这一行波特征,在研究非线性问题时,提出与非线性方程相匹配的边界造波条件及其表达形式。对于数值模拟,采用有限元法和逆时域法离散一维、轴对称和二维非线性浅水波方程,并结合前述的边界条件提法,给出一种研究非线性浅水波问题的数值计算方法,应用这一方法对一些问题进行数值分析,研究波的传播、反射以及散射等规律。数值模拟海啸形成的过程,揭示海啸形成的一些规律。 (2)双层流体的Hamilton体系的构造以及分析方法。 考虑双层流体的特点,分别给出上下层流体基于自由表面速度势和交界面速度势展开的流体内任一点的速度势表达式,从而构造出上下层流体的Hamilton函数。分析Hamilton函数的基本变量和对偶变量之间的关系,进一步推导出双层流体浅水波问题的Hamilton正则方程。通过研究和分析各阶一维Hamilton近似方程,首先得到线性问题的辛本征解空间,利用基本解和行波解,得到双层流体的两个波速的表达式。进一步研究表明,波长的大小除了与外界输入频率有关以外,还与上下层流体的密度比、流体层厚度比以及总水深等有关。研究结果发现:在一定条件下,会出现拍现象和特殊谐波现象。其次,对于一阶近似的非线性问题,存在由椭圆余弦函数表示的行波解。其波幅、波长以及波形不仅与边界条件有关,还与液体参数有关。再次,通过数值模拟研究边界造波形式对于波的生成与传播的影响,得到边界驱动板移动频率和幅度对水波生成与波形的控制方法,从而可以通过控制驱动板得到各种形式的水波。此外,对于双层流体问题的研究思路和方法也为多层流体浅水波问题的研究提供依据和基础。 (3)溃坝问题的特征线一欧拉格式 溃坝问题为典型的有一个间断面的Riemann问题。本文针对这一问题提出了一种基于Riemann不变量和特征线-欧拉格式。利用Hamilton正则方程的双曲特性,沿特征线采用高阶格式捕捉Riemann不变量的位置变化,并通过插值回归欧拉网格。插值采用高阶迎风插值格式,即:根据特征值的符号确定插值的方向,然后采用高阶插值格式进行插值。从计算结果看,该格式计算稳定,没有产生数值色散,并且计算精度明显高于普通的特征线法。 (4)三峡升船机的水动力学计算 在非保守系统的广义Hamilton体系方法的研究基础上,通过引入广义力,构造出一种含有广义力的Hamilton方程。再结合有限元方法,给出一种求解浅水波问题的数值模拟方法。采用该方法对三峡升船机所涉及的船与水的动力耦合问题展开系统研究和讨论。针对该问题的特点,推广本文中的动网格和间断面处理技术。动网格处理的具体方法是采用随船运动的动坐标系与边界网格运动相结合的方法,使动网格问题简化。间断面处理的方法是采用同一节点存储两个速度变量的方法。数值计算的过程和结果表明,这些方法简便有效。通过数值模拟,得出一些规律和结论,为升船机设计提供依据。


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