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单位球加权Bergman空间上带有不同符号的Toeplitz算子

张阚  
【摘要】:函数空间上的算子理论因为与算子理论、算子代数、函数论、微分方程、复分析、微分拓扑等数学分支的紧密联系和在控制理论、量子力学、概率统计等学科中的广泛应用而成为算子理论和分析领域的活跃研究方向Toeplitz算子和Hankel算子是函数空间上两类重要的算子,它们对算子理论、算子代数和复分析有极其深刻的影响,因而吸引了众多学者的关注. 本文主要研究单位球加权Bergman空间上带有不同符号的Toeplitz算子的代数性质以及Toeplitz算子乘积、Toeplitz算子与Hankel算子混合乘积的代数性质.具体地,本文主要包括以下几个方面. 1.研究了单位球加权Bergman空间Aα2(Bn)上带有BMO符号的Toeplitz算子的有界性及紧性. 利用BMOa1(Bn)的定义,得到了|f|(z)与|f(z)|之间的关系,这里f∈BMOa1(Bn),z∈Bn再利用Hankel算子与小Hankel算子的关系以及Carleson测度的性质,证明了对任意的p≥1,Bergman投影Pα是从BMOap(Bn)到Bloch空间上的有界算子.在此基础上给出了带有BMO符号的Toeplitz算子有界性及紧性的充要条件. 2.研究了单位球加权Bergman空间Aα2(Bn)上带有正符号的Toeplitz算子的性质. 利用单位球Bn的r格分解以及Berezin变换得到了加权Bergman空间Aα2(Bn)上带有正符号的Toeplitz算子有界性、紧性及Schatten性的充要条件.利用次平均振动SMO的定义,证明了Schatten族正Toeplitz算子与Schatten族小Hankel算子之间的等价关系. 3.研究了单位球加权Bergman空间Aa2(Bn)上带有平方可积解析符号的Toeplitz算子乘积的代数性质. 利用正规化再生核κzα的性质及解析函数的平均值性质,得到了以平方可积函数为符号稠定义的Toeplitz算子乘积有界性的充分条件和必要条件.利用最大模原理给出了Toeplitz算子乘积紧性的充要条件.同时,给出了Toeplitz算子及Hankel算子混合乘积HfTg有界性的充分条件和必要条件,并且得到了算子乘积TfTg是Aα2(Bn)上有界可逆算子的充分条件和必要条件及有界Fredholm算子的必要条件.


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