函数空间上Toeplitz算子的代数性质

【摘要】：Hardy及Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子是算子理论中的十分活跃的分支.它不仅与数学中的许多领域有着密切的联系.而且在控制理论和应用,量子力学.概率统计等学科中有着广泛的应用.人们发现函数论和算子理论中的一些经典问题可以等价于Bergman空间及其上的Toeplitz算子一些问题的研究.例如：不变子空间问题.另一方面,Bergman空间及其上的Toeplitz算予的研究也引出了许多复分析和微分方程等许多分析领域中的有趣问题.这使得Hardy及Bergman空间上的Toeplitz算子理论的研究受到了广泛关注. 二十世纪五十年代以来Toeplitz算子和Hankel算子的研究有了长足的发展.特别是在Hardy空间及Bergman空间上,人们取得了大量重要的成果.并且在数学和工程技术领域中得到了广泛的应用.在Bergman空间及多变量Hardy空间一上.对Toeplitz及Hankel算子的研究主要集中在调和函数符号上,对于一般函数符号的算子的研究还是非常困难的.此外向量值Bergman空间上的算子研究工作也很少.本文主要研究双圆盘Hardy空间上Toeplitz与小Hankel算子的交换性.Bergman空间上的以拟齐次函数为符号的Toeplitz算子以及向量值Bergman空间上的对偶Toeplitz算子的代数性质.本论文的内容如下： 第一章,介绍有关Toeplitz算子Hankel算子.对偶Toeplitz算子的背景知识.以及Toeplitz算子乘积和交换性等性质的研究历史和动态. 第二章.在双圆盘Hardy空间H2（D2)上的研究Toeplitz算子T,与小Hankel算予H9的交换性.首先,利用Fourier级数的理论给出等式Tf*H9=H9Tf*成立的充要条件.然后利用函数论的知识讨论了Tf与H9的交换性,其中f=f++＋f--. 第三章,在单圆盘Bergman空间A2（D)上研究Toeplitz算子与小Hankel算子的交换性.利用Mellin变换和Mellin卷积的理论给出了一般情况下Tf与H9可交换的充要条件.并且对符号函数为某些特殊的函数时给出了精细的描述.证明了A2（D)上的两个小Hankel算子是可交换的且其中的一个是以拟齐次函数为符号的算子.则另一个也是以拟齐次函数为符号的小Hankel算子. 第四章.利用推广的Mellin变换研究了多圆盘Bergman空间A2(Dn)上Toeplitz算子的一些代数性质.首先：我们给出了多圆盘Dn上拟齐次函数和(P)性质的定义.其次.研究了某些拟齐次形式的Toeplitz算子的交换性和对角Toeplitz算子的换位子.随后.讨论了以拟齐次函数为符号的Toeplitz算子的有限秩的半换位子和换位子.最后解决了多圆盘Bergman空问/A2(Dn)上的Toeplitz算子的一些有限秩乘积问题. 在第五章中,向量值Bergman空间上的对偶Toeplitz算子一些代数性质得到了研究.首先给出了向量值Bergman空间上的对偶Toeplitz算子有界和紧的条件.随后.得到了两个块对偶Toeplitz算子的乘积依然是一个块对偶Toeplitz算子的一些充要条件.最后.对块对偶Toeplitz算子的交换性（半交换性)和本性交换性(本性半交换性)给出了描述.