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基于偶应力理论的多孔固体材料与结构的分析与设计

苏文政  
【摘要】:建立宏观等效性能与材料微结构之间的关系,并据此设计材料以及结构是多孔固体研究的重要内容。宏观等效性能的研究通常是基于经典连续介质理论,将多孔固体等效为一种均匀连续介质。由于该理论不包含材料的任何尺度参数,仅仅是对材料微结构的一阶近似,因此只适用于宏观结构尺寸远大于材料微结构尺寸的问题。如果宏微观结构的尺寸量级相同或者相近,经典等效连续模型将无法获得结构的真实响应,即多孔固体等效宏观性能分析存在尺寸效应。这种尺寸效应不可避免地会影响多孔固体材料与结构的设计工作。材料的微结构尺寸往往与宏观结构的尺寸处于同一量级是多孔固体的一大特征,由此产生的结果是等效经典连续介质模型无法解释多孔固体变形的尺寸效应,进而基于该理论的优化模型也存在相应的缺陷。 本文围绕多孔固体材料与结构的分析与优化过程中的尺寸效应这一中心问题展开。基于偶应力理论建立了多孔固体的等效连续介质模型,在此基础上提出了多孔固体的材料微结构设计模型、宏观结构设计模型以及材料与结构的并发设计模型,并讨论了其中的尺寸效应问题。主要工作包括: 1)以桁架板为例讨论了多孔固体薄壁结构弯曲变形分析中的尺寸效应问题。桁架板厚度方向的尺寸与材料单胞的尺寸量级相同,从而桁架板的等效弯曲刚度分析存在显著的尺寸效应。通过桁架材料等效的面内材料属性在板厚度方向上积分的做法因为不包含尺寸效应而无法获得准确的抗弯刚度。本文建立了考虑尺寸效应地求解桁架板等效抗弯刚度的代表体元模型,建议了相应的边界条件,并对典型的弯曲问题比较了薄板模型结果、有限元离散模型结果以及实验测量结果,三者具有良好的吻合,验证了本文方法的合理性。 2)构造了两套有效的偶应力理论有限元格式。偶应力理论较之传统理论更为复杂,有限元是有效的求解工具。偶应力理论中转角自由度的约束使偶应力有限元列式需要满足单元间的C1连续。本文建立了两套不同的偶应力单元格式:利用罚函数的8节点四边形Serendipity单元以及利用离散点约束的4节点四边形离散偶应力单元。通过数值解与解析解的对比表明这两套有限元列式均具有较高的精度,能够满足论文的其他部分工作数值求解的精度要求。 3)研究了多孔固体的等效偶应力连续介质模型。在应变能等效的意义下建立了求解多孔固体等效偶应力介质材料参数的代表体元模型,给出了相应的边界条件,推导了正交各向异性偶应力介质的特征长度表达式。结果对比表明,本文方法获得的等效材料常数以及特征长度的结果与文献相同问题的解析解吻合良好。此外,考察了多孔固体的微结构特征(如拓扑、尺寸以及相对密度)对于等效材料常数的影响。在此基础上,利用建立的等效偶应力连续介质理论模型讨论了多孔固体梁结构弯曲变形的尺寸效应,研究了尺寸效应产生的机理。 4)提出了基于等效偶应力连续介质模型的多孔固体的材料微结构设计模型。在已有的多孔固体的等效偶应力连续介质模型的基础上,建立了基于等效偶应力连续介质模型的多孔固体材料微结构设计的拓扑优化模型。结合位移载荷下结构拓扑优化问题的提法以及敏度分析的相关结论,给出了材料微结构设计模型的敏度分析格式。该优化模型在拓扑形式和目标函数两个方面均能够反映材料微结构拓扑随多孔固体宏微观结构尺寸比的变化,克服了传统的基于经典连续介质理论的逆均匀化方法无法描述尺寸效应的缺点。 5)讨论了偶应力介质的宏观结构拓扑优化设计问题。对于多孔固体结构的设计,当宏观结构尺寸与材料微结构尺寸量级相近时,最优的结构拓扑往往表现出尺寸关联特点。而基于经典连续介质理论的传统结构拓扑优化模型由于不包含任何材料的尺度参数,因此无法显现尺寸效应。基于此,本文将经典的SIMP模型推广至偶应力介质,研究了偶应力介质的拓扑优化问题,考察了其数值不稳定现象并且建议了相应的解决方案。结果表明,偶应力介质的拓扑优化模型能够显现尺寸效应,对于多孔固体结构的设计具有更高的精度。 6)提出了基于等效偶应力连续介质模型的多孔固体材料与结构的一体化设计模型。传统的材料与结构分离的设计策略无法充分包含材料与结构之间的耦合影响,同时考虑到实际工程结构中多孔固体材料与结构的尺寸量级往往相近的特点,以及传统理论不包含材料微结构高阶信息的局限性,本文基于偶应力理论建立了材料与结构的并发设计模型。结构的宏观拓扑由SIMP模型实现,而材料的拓扑则由基于等效偶应力连续介质理论的微结构拓扑优化模型实现,利用多孔固体的等效偶应力模型可以获得多孔材料的等效材料常数,并形成宏观设计与微观设计之间的桥梁。结果表明该并发设计模型充分包含了材料与结构之间的相互耦合作用,同时准确地显现了结果的尺寸相关特点。


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