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0-1规划问题的连续化方法研究及应用

李艳艳  
【摘要】:0-1规划属于离散优化的范畴。由于0-1变量可以准确的表示有与无、是与否、取与舍等逻辑关系或互斥条件,所以0-1规划广泛应用于经济和工程等领域。与连续优化问题相比,0-1规划具有内在的求解困难。例如,可行域的离散特点使得传统的连续优化理论和算法不再适用。此外,许多适用于0-1规划问题的算法,计算量很大,仅适合求解中小规模问题。基于对算法求解时间和求解质量的综合考虑,有一类连续化方法逐渐引起人们的注意。其原因在于,连续化方法可以采用连续优化算法或非线性优化软件求解,从而具有大规模数值计算的潜力。 本文针对线性,非线性0-1规划从不同角度提出了几种新的连续化方法。在此基础上,本文将连续化方法推广到任意离散变量的优化问题。论文的具体章节安排如下: 第一章首先介绍了0-1规划问题的应用背景和研究价值,以及其求解所存在的困难特性,然后对0-1规划的研究概况进行了简要回顾,最后阐述了本文的研究动机,并对论文的主要研究内容做了概括性介绍。 第二章提出了求解线性0-1规划问题的基于对偶的连续化方法。通过拉格朗日松弛,0-1规划问题变量取0、1的特点,以及目标和约束函数线性特点,得到充分利用,并最终将原问题转化为一个简单的连续优化问题,即原问题的对偶问题。本文方法所得到的对偶问题具有显式目标函数,非常有利于算法的构造与实施。进一步,该方法结合阈值接收原则,以及延拓算法,充分挖掘了原对偶问题的关系及最优解的信息,并得到了原问题的最优解。 第三章提出了求解非线性0-1规划问题的NCP函数方法。该方法结合0-1规划问题本身的特点,把0-1规划问题转化成一个含互补约束条件的数学规划问题(MPCC),然后采用NCP函数之一的Fischer-Burmeister函数,将互补约束转化为方程形式,从而把原来的0-1规划问题转化成了连续非线性规划问题。此外,本章通过凝聚函数的光滑化作用,以及对多个不等式的凝聚作用,将问题进一步简化为只有等式约束的光滑优化问题。然后,采用增广拉格朗日函数法求解该问题。 第四章提出了求解非线性0-1规划问题的二进制熵函数法。从概率论和信息论的角度,0-1规划问题的变量可以看作随机变量,它们取得0或1的概率与0-1规划松弛问题的最优解密切相关。本章将松弛问题的最优解作为自变量,将其所含的概率信息通过信息论中的二进制熵函数进行了度量:在[0,1]有效域内,当松弛问题的最优解离开0和1时,二进制熵函数大于零;距离0和1越远,二进制熵函数取值越大;当且仅当松弛问题的最优解取得0-1整数解的时候,二进制熵函数等于零。借助二进制熵函数的这种性质,本章从0-1规划的松弛问题出发,构造了原问题的连续优化模型。然后,本章采用增广拉格朗日函数法求解连续化以后的问题。其中,采用凝聚函数法将多个约束凝聚为一个光滑的等式约束,有效减少了约束,简化了计算。 第五章在前面研究的基础上,将NCP函数连续化方法与二进制熵函数连续化方法推广到任意离散变量的优化问题。针对离散变量的优化问题中具有简单结构的二进制二次规划问题,本章在理论方面得到许多新的性质。例如,在合理的条件下,连续化以后的优化问题所对应的增广拉格朗日函数在非常大的区域内是凸的。此外,本章给出了离散变量优化问题的连续化求解方法,并应用到工程中的实际问题。文中给出了求解过程中,得到的最优解由[0,1]连续解逐渐迭代至{0,1}离散解的整个过程。 第六章对全文进行总结,并在此基础上提出了几个可以依据本文内容进一步开展的工作方向。


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