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矩形板问题的Hamilton求解方法

李锐  
【摘要】:弹性矩形板是一种重要的结构元件,广泛应用于土木工程、海洋工程、航空航天以及机械工程等多个领域,其相关力学问题(弯曲、振动等)的求解一直是工程领域研究的一个重要内容,然而由于数学上的困难,该类问题的解析求解一直是一个难题。本文的工作是将该类问题导入Hamilton体系并利用辛几何方法求解典型边界条件下弹性矩形板的问题,其中包括Kirchhoff板(基于经典薄板理论)和Reissner板(基于中厚板理论)的弯曲和振动问题。 对于薄板的弯曲问题,本文从Kirchhoff薄板弯曲问题的控制方程出发,以基本力学量为对偶变量,构造出了该问题的Hamilton体系。以此为基础,再利用辛几何方法理性求解对偶方程。对于对边简支薄板,直接求出了Levy型解析解。对于对边固支的情况,以变分边界条件导出方程组来决定级数中出现的待定系数,从而得到了解析解。同时,本文还将Hamilton体系求解方法推广到各向异性的情况,建立了正交各向异性薄板弯曲问题的Hamilton体系,求解出对边简支以及对边固支正交各向异性矩形薄板的辛解析解。针对其他非对边简支矩形薄板的问题,本文提出一种基于辛几何法与叠加法结合的求解方法,作者称之为“辛—叠加方法”——该方法对于常见边界条件下的矩形板问题都是适用的。 对于中厚板的弯曲问题,从Reissner板弯曲问题的控制方程出发,首先构造出一种形式简洁的Hamilton体系,然后利用辛几何方法理性求得了对边简支Reissner板的解析解,并利用得到的解析解分析和阐释了板弯曲中的边界效应问题。与以基本力学量为对偶变量的方程相比,本文构造出的对偶方程具有形式简洁、求解方便的特点。 本文还分别将Kirchhoff板、Reissner板的自由振动问题导入Hamilton体系,理性求得了对边简支板自由振动问题的解析解。 本文的求解方法是直接从弹性矩形板的控制方程出发,将问题导入到Hamilton体系当中,然后基于辛几何方法,利用分离变量、辛本征展开等手段,得到矩形薄板、中厚板的弯曲和振动问题的解析解。由于在求解过程中不需要预先人为选取试函数(如挠度函数),而是直接以板的基本方程为起点,通过逐步的理性推导得到问题的解析解,从而使本文求解方法具有明显优于传统解析解法的优点,跳出了半逆法的限制,可以得到更多传统方法难以得到的解析解。


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