椭圆型方程和积分方程中的超定问题

【摘要】：本文讨论椭圆型方程和积分方程中的超定问题,椭圆型方程超定问题是研究方程在同一边界上既满足O-Dirichlet边值条件又满足常值Neumann边值条件的问题，显然椭圆型方程超定问题的解在一般的区域上是不存在的,除非区域具有合适的几何特征；积分方程超定问题是研究解在满足积分方程的同时还满足一个常值边值条件，类似地，积分方程超定问题的解一般情况下是不存在的,除非假定区域具有一定的几何特征.本文研究当超定问题的解存在时，区域具有什么样的几何特征. 本文共分五章： 第1章概述超定问题的研究背景和国内外研究进展,并简要列出本文的主要工作及相关预备知识. 第2章研究有界连通集Ω(?)Rn上p-Finsler-Laplace超定问题.若该超定问题的解存在,结合P-函数的极值原理和Pohozaev型积分等式,我们证明了Ω是Wulff形区域. 第3章讨论有界连通集Ω(?)Rn上一类更一般的退化椭圆型方程超定问题.构造合适的P-函数,利用F的齐次性和合适的逼近方法克服F和A(t)带来的退化性,进而得到了P-函数的极值原理.再结合Pohozaev型积分等式,证明了超定问题的解存在时Ω是Wulff形区域. 第4章考虑上半空间柱形域Ω上的积分方程超定问题,其中Q=D×R+(?)R2，首先,对于上半空间Rn+上的Bessel位势型积分方程,我们得到了解的轴对称性；然后,考虑了Ω上的Bessel位势型积分方程超定问题，并证明了Ω是一个圆柱且解关于圆柱的中心轴是轴对称的：最后，对于Ω上Riesz位势型积分方程超定问题,同样得到了区域Ω和解的对称性. 第5章研究积分方程的部分超定问题.首先,讨论有界区域Ω(?)Rn上积分方程的部分超定问题,假设部分边界(?)Ω满足一定的几何特征,证明了Ω是一个球且解是径向对称的：类似地，我们还考虑了上半空间形域上Riesz位势型积分方程的部分超定问题并得到了柱形域是一个圆柱且解关于圆柱的中心轴是轴对称的.