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多变量函数空间上Toeplitz算子的若干问题

孙志玲  
【摘要】:近几十年来,Toeplitz算子和Hankel算子成为了函数空间上算子理论的一个活跃分支,备受众多学者的关注.它与算子理论、算子代数、函数论、微分方程等众多数学分支有着密切联系,在控制理论、量子力学、小波分析等学科中有着重要应用. 对单位圆盘上的Hardy空间和Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子的研究,取得了大量成果.随着研究深入和应用背景的驱动,人们开始在各种域的Hardy空间Bergman空间以及Dirichlet空间上定义相应的Toeplitz算子和Hankel算子.同时,这两类算子的定义域也开始从解析Bergman空间以及Dirichlet空间向调和Bergman空间和调和Dirichlet空间拓展.但是由于不同函数空间中函数的性质有很大差别,很多基本问题解决起来比较困难,需要用到一系列新的研究工具.本文主要研究了单位球上的多重调和Bergman空间和多圆盘上的Bergman空间上的Toeplitz算子的若干性质. 第一章,介绍函数空间上乘法算子、Toeplitz算子和Hankel算子等的背景知识和它们在有界性、紧性、代数性质以及乘积等方面的研究状况. 第二章,研究加权多重调和Bergman空间上带有径向符号的Toeplitz算子.首先,我们构造了L2μ(Bn)上的一个算子R,它在加权多重调和Bergman空间b2μ(Bn)上的限制是B2μ(Bn)和ι(?)之间的一个等距同构.而且,用算子R我们证明每个带有径向符号的Toeplitz算子Tα酉等价于ι#2上的乘法算子γα,μⅠ.同时,一个带有径向符号的Toeplitz算子的Wick函数给出了这个算子一个完全刻画,提供了它的谱分解形式. 第三章,运用把多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子分解成Bergman空间上Toeplitz算子和小Hankel算子的技巧,完全刻画多重调和Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子的紧性.运用紧Toeplitz算子这个结果,建立了Toeplitz代数和小Hankel代数的短正合列. 第四章,研究多圆盘Bergman空间上Toeplitz算子乘积的可逆性.首先,利用二元矩形的笛卡积和二元笛卡积极大函数证明了多元盘Bergman空间上的一个反向的Holder不等式.接下来,给出了多元盘上以平方可积的全纯函数f和g为符号Toeplitz算子乘积乃TfTg在L2α(Dn)上是有界可逆的充要条件


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