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调和函数空间上对偶Toeplitz算子的若干问题

杨静宇  
【摘要】:函数空间上的算子理论是算子理论中非常重要的一部分Bergman空间上的Toeplitz算子由于其与Banach代数、复分析等数学分支的密切联系和在物理学、量子力学以及控制理论等学科的广泛应用使之成为算子理论的一个十分热门的研究方向.一直以来Bergman空间上Toeplitz算子的研究引出了很多重要的复分析和微分方程等方面的问题,这极大推动了数学理论的发展,也使得Bergman空间上Toeplitz算子理论备受关注. 近来,关于Toeplitz算子的研究已经从经典的Hardy空间和Bergman空间扩展至Fock空间、调和Bergman空间和Segal-Bargmann空间等更多更复杂的函数空间上.同时,由于对偶Toeplitz算子与Toeplitz算子的密切联系,使得众多学者对对偶Toeplitz算子给予了更多的关注.本文主要研究多重调Bergman空间上以拟齐次函数为符号的Toeplitz算子的有限秩乘积、有限秩换位子与半换位子问题,调Bergman空间上对偶Toeplitz算子的交换性和半交换性,调和Dirichlet空间上对偶Toeplitz算子的交换性. 第一章,回顾Toeplitz算子、对偶Toeplitz算子的相关知识,介绍函数空间上(对偶)Toeplitz算子交换性、乘积等问题的研究历史及发展现状. 第二章,利用Mellin变换研究单位球多重调Bergman空间Lh2(Bn)上TToeplitz算子的代数性质.首先给出以径向函数为符号的两个Toeplitz算子的乘积是Toeplitz算子的充分必要条件,讨论以径向函数为符号的几个Toeplitz算子的零乘积问题.其次,讨论以拟齐次函数为符号的Toeplitz算子的有限秩乘积和有限秩换位子与半换位子.作为定理的应用,文中构造了一些具体例子. 第三章,在单圆盘的调Bergman空间Lh2(D)上刻画以调和函数为符号的对偶Toeplitz算子的交换性和半交换性.首先,运用函数论知识得到解析(余解析)对偶Toeplitz算子在(Lh2(D))⊥上总是可交换(半交换)的.其次,由复分析理论及SφSΨ=SΨS, SφSΨ=SφΨ在(Lh2(D))⊥上成立,得到具体的微分方程,进一步刻画φ,ψ.所得结果与经血Hardy空间上著名的Brown-Halmos关于算子交换性(半交换性)的结果类似. 第四章,研究调和Dirichlet空间上符号属于w1,∞(D)的两个对偶Toeplitz算子的交换性. 第五章,阐述本文的结论及创新点,展望研究成果.


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