几类特征值优化的空间分解方法

【摘要】：近二十年来,特征值优化问题得到了人们广泛关注.在现实中很多实际问题都可以转化为极小化特征值函数的优化问题.例如最优控制、组合优化、信号恢复、最优系统设计、机器人、实验设计、模型优化等等.因此,研究求解这类函数的算法,同时具有重要的理论意义与实用价值.虽然这类函数一般是不光滑的,不过由于其具有好的结构性质,因此存在某种光滑的子结构.基于uv-分解理论,利用某个中间函数-u拉格朗日函数,就得到在某个光滑流形上函数的二阶展开形式. 目前,求解特征值优化的非光滑方法主要有次梯度法与束方法.然而,这两类算法的收敛速度很慢(至多线性),而本文所研究的求解几类特征值优化问题的uv-分解算法,它具有超线性收敛速度. 论文所阐述的主要结果可概括如下： 1.第二章主要研究了关于一类特殊的特征值函数-最大特征值和函数的uv-分解理论.这里u-拉格朗日理论被应用到这类函数上面,当横截性条件成立时,得到u-拉格朗日函数的一阶和二阶导数.这样就得到最大特征值和函数在某个光滑轨道上的二阶展开形式. 2.第三章考虑求解一类比最大特征值更一般的特征值函数的uv分解理论：任意特征值函数λi,它是一类D.C.函数.运用u-拉格朗日函数理论,当横截性条件成立,可以获得u-拉格朗日函数的一阶和二阶导数.并且,给出了一个概念型算法,它具有较快的局部收敛速度.另外,我们可以把获得的结果应用到一些实际优化问题：低秩矩阵优化问题. 3.第四章研究了一类最大特征值函数,带有矩阵值凸映射的最大特征值函数的空间分解理论.这里借助于中间函数-u-拉格朗日函数,当正则性条件成立时,就可以得到u-拉格朗日函数的一阶和二阶导数.利用uv-分解方法,研究了最大特征值函数λ1的二阶分析.沿着满足横截性条件的光滑轨道x(u),存在λ11的二阶展开形式.进一步地,描述了一个证明具有局部超线性收敛速度的概念型算法.此外,该步骤表明得到的结果可以被用来处理某些实际的优化问题：非线性凸半定规划.另外,提供了对双线性矩阵不等式问题与关于矩阵变量的最大特征值的有效uv-分解结果. 4.第五章求解了半无限最大特征值函数的优化问题.对于这类特征值函数取极大的非光滑函数,我们提出一个非光滑优化方法.我们的策略是利用适用于范数和其它非光滑表现形式的广义梯度和uv空间分解方法.对于最大值函数类,它具有所谓的原始-对偶梯度结构(PDG),利用计算出的光滑轨道,在其上面就可以得到函数的某些二阶展开形式.在一些假定成立下,给出在变量空间Rm上,原始-对偶函数的一阶和二阶导数.