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向量值函数空间上块Toeplitz算子的若干性质

崔璞玉  
【摘要】:块Toeplitz算子在数学、物理学和量子力学等许多领域中有着重要的应用.Toeplitz算子亚正规性的研究源于Halmos在1970年做的报告"Hilbert空间中的十个问题”的第五个问题:是否每一个次正规的Toeplitz算子要么是正规的,要么是解析的?由次正规算子的定义可以得出次正规算子一定是亚正规算子,由Bram-Halmos标准可以判别亚正规算子是否为次正规算子. 第一章简要介绍Toeplitz算子的研究背景、基础知识和国内外相关研究的历史和现状. 第二章通过将向量值Bergman空间中两个块Toeplitz算子的乘积转化为数量值Bergman空间中Toeplitz算子乘积的有限和,在矩阵结构的基础上解决了向量值Bergman空间上以矩阵值调和函数为符号的两个块Toeplitz算子乘积的有限秩问题、零积问题和交换性问题.特别的,得到了一些与数量值Bergman空间相应问题的类似结果. 第三章研究向量值Bergman空间上以矩阵值调和函数为符号的块Toeplitz算子的亚正规性.在矩阵结构的基础上,利用函数理论,得到了块Toeplitz算子亚正规性的一些必要条件和充分条件. 第四章研究调和Dirichlet空间上Toeplitz算子的亚正规性.基于Sobolev空间的分解,通过刻画Dirichlet空间上Toeplitz算子及其共轭算子作用在{zk}k≥0上的矩阵表示,得到Dirichlet空间上以Sobolev函数W1,∞(功为符号的有界Toeplitz算子的亚正规性的完全刻画;在调和Dirichlet空间上得到相似结果.特别的,得到Dirichlet空间上和调和Dirichlet空间上以调和函数为符号的有界的Toeplitz算子是亚正规的当且仅当其为常值算子.


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