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变分法在拟线性薛定谔方程中的应用

房祥东  
【摘要】:本文我们研究拟线性薛定谔方程:在关于V和g的不同假设下,我们通过变分法分别获得了多重解的存在性和单个非平凡解的存在性.本文结构如下: 首先,第一章简要介绍问题的背景,本文结构和需要的相关知识. 第二章假设g和V关于x1,…,xN是周期的,并且g关于“是奇的、“超二次”、次临界并满足单调条件.在这样的条件下,我们利用广义Nehari流形得到了无穷多对几何不同的解. 第三章处理“渐近二次”情况.我们将广义Nehari流形方法作了改进,从而获得了无穷多对几何不同的解.粗略地说,我们可以证明Nehari流形与单位球面上的某个开集是同胚的,而且泛函限制在Nehari流形上的临界点对应泛函限制在该开集上的临界点,然后证明Palais-Smale序列的离散性,由此得出形变引理,最后由亏格理论证明了无穷多对解的存在性. 第四章假设V和非线性项在无穷远处满足一个渐近估计,从而得到一个基态解.对于拟线性薛定谔方程,通常的变分法不适用于这种情况.为了克服这个困难,我们先证明Nehari流形是C1的,从而得一个Palais-Smale序列.最后推出了Palais-Smale序列的表示,从而获得了基态解的存在性. 第五章假设位势V是变号的,在不同的条件下分别获得了非平凡解的存在性.具体来说,假设位势V的正部是有界的,其负部可以是无界的,在非线性部分加上一个小扰动项,从而获得了非平凡解的存在性.若位势V满足更强一些的条件,那么不需要扰动项,仍然可以得到非平凡解的存在性. 第六章考虑渐近线性薛定谔方程.通过利用广义Nehari流形方法,我们证明了最小能量解和无穷多对几何不同解的存在性.


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