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求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法

徐阳  
【摘要】:偏微分方程数值解的理论和方法是计算数学研究领域中非常具有挑战性的课题,随着计算机技术的日益发展,通过数值计算求解实际物理过程中的数学模型,越来越成为国内外科研发展的前沿。而抛物型方程作为一类重要的偏微分方程,其理论研究和解法近年来逐渐趋于成熟,这使得其在各大学科领域的研究和应用更为广泛。目前求解此类方程,常采用有限差分法进行离散,由于其简单直观、易于操作等优点,在众多方法中占有十分关键的地位。其中,显格式计算方便且容易实现,但精度低且不能保证稳定性;隐格式虽与显格式相比稳定性更好,但在实际数值模拟过程中,往往需要计算高维或非线性方程,其在处理高维问题时导致计算量较大。本文主要考虑如下的非线性抛物型方程(组):对于此方程(组)的初边值问题,在多数情况下解决的是a≠a(u)的情形,即a与u无关,但在本文主要讨论a=a(u)的情形,即a与u相关。本文主要采用由Dyakonov和Yanenko提出的局部一维化方法(简称LOD),此方法主要用于求解高维方程,但由于非线性问题的固有特性,非线性项难以处理且其过渡层的值是难以确定的,使得求解过程困难,即使给出一些简化方法,计算精度也会受到影响。针对上述的一系列问题,本文在已有的LOD方法的基础上进行改造,提出了对于非线性项a(u)的两种处理方法,相比以往文献中所给的方法,本文所构造出的差分格式具有计算量较少,误差易于掌握,程序不难实现等优点。文章的主要内容安排如下:第一部分,介绍非线性抛物型方程的研究背景及意义,以及现有的求解此类方程的理论和方法。第二部分,介绍一些关于几种差分格式的相关内容。第三部分,介绍局部一维化格式,给出了其离散过程,并针对线性抛物型方程进行了截断误差与稳定性分析,数值计算的结果也表明了方法的有效性。第四部分,介绍针对非线性抛物型方程的非线性项a(u)的两种处理方法,此部分是对上一部分的结果做了进一步的改进,并给出两组数值实验。最后,给出总结与展望。


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