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纳米板结构稳态受迫振动研究

范俊海  
【摘要】:随着高科技的发展,设备和仪器的轻型化,小型化,微型化及智能化已经形成发展趋势。纳米材料,纳米结构和纳米技术的研究进展为这种发展趋势提供了条件和动力。我国的“十三五”规划明确提出对纳米材料与器件的重点发展要求,国家中长期科学和技术发展规划纲要也明确提出研究纳米材料的可控制备、自组装和功能化的研究需求。近年来,我国材料制造行业发展迅速,应用纳米材料生产加工电子设备为电子设备小型化,轻量化提供可能,尤其是微纳机电系统得到空前的发展。同时,所伴随的新型材料结构动力学性能及行为问题更加凸显,因此,发展所对应的研究方法和揭示其规律具有重要的科学意义和应用价值。本博士论文以一类纳米板稳态受迫振动问题为研究对象,利用非局部Kirchhoff薄板小挠度弯曲理论和哈密顿体系方法,求解具有不同边界条件的纳米板的稳态受迫振动问题的解析解,为进一步研究类似问题提供方法和依据。具体研究内容包括:(1)构造纳米板的稳态受迫振动问题的哈密顿求解体系,并获得由辛本征解级数形式表示的解析解。以对边简支(SS)纳米板为突破口,通过建立局部变量与非局部变量之间的联系,利用局部变量描述纳米板稳态受迫振动的控制方程。采用引入原变量的对偶变量和变分方法,导入哈密顿体系下的正则方程。在哈密顿体系下,将问题归结为辛本征值与辛本征解问题,从而得到由辛本征解展开形式表示的齐次通解和非齐次特解表达式。利用边界条件,辛共轭正交关系和展开定理,将问题转化为代数方程组的求解问题。从而确定出辛解析解表达式中的待定系数,即得到对边简支矩形纳米板稳态受迫振动问题的辛解析解,以及其它边界条件纳米板的解析解表达式。(2)建立在弹性介质上非均匀矩形纳米板的稳态受迫振动问题辛分析模型。在哈密顿体系的基础上,研究和分析一组邻边固支,其余边界为简支/固支(CCCC,CCCS和CCSS)的矩形纳米板稳态受迫振动规律,并得到诸问题的解析解。研究方法主要针对很难直接求解的纳米板边界条件,采用将纳米板的稳态受迫振动问题转化为若干子问题的方法。通过待定系数的方式,建立子问题之间的联系。利用子问题之间的关系表达式和对单个子问题解的表达式,将原问题转化为简单的代数方程组问题,从而得到非均匀矩形纳米板的稳态受迫振动问题的解析解。在该研究思路下,得到CCCC,CCCS和CCSS支承条件下非均匀矩形纳米板问题的解析解,并分析了诸问题稳态受迫振动的特点。(3)在辛体系下,建立粘弹性介质上正交各向异性矩形纳米板稳态受迫振动问题的模型。针对四边自由(FFFF)边界条件的纳米板问题,通过边界叠加的方法得到该问题的解析解。具体方法体现在:通过哈密顿求解体系得到滑支(GG)边界条件矩形纳米板稳态受迫振动问题的辛解析解表达式;分析四边滑支纳米板两个方向边界动转角变化所对应的两个振动问题解形式;将三个问题的边界条件和外激励载荷叠加,恰好等价四边自由的正交各向异性矩形纳米板的稳态受迫振动问题的基本问题。根据等价关系确定待定系数,从而得到问题的解析解。数值结果给出FFFF正交各向异性矩形纳米板的稳态受迫振动的特征和规律。(4)采用边界分解的方法,建立放置在粘弹性介质上的自由-自由-固支-固支(FFCC),自由-自由-固支-简支(FFCS)和自由-自由-简支-简支(FFSS)等复杂边界支承正交各向矩形纳米板稳态受迫振动问题的模型。该类模型在哈密顿体系下可利用边界分解,将问题划分为几类可由辛本征解表示的级数解。级数解的待定系数可借助于本征解的辛共辄正交关系归结为代数方程组根的问题,进而得到问题的解析解表达式。数值结果表明,粘性系数对振动幅值影响较大;非局部参数与共振频率成反比关系;支承条件会影响整个结构的刚度,因而会对共振频率产生影响。(5)针对嵌入在粘弹性介质中的双层悬臂(FFFC)正交各向矩形纳米板的稳态受迫振动问题,建立一种辛体系和哈密顿正则方程组。研究发现上下板位移的和与差均满足同样形式的哈密顿正则方程组。因此,双层纳米板问题可归结为同一个哈密顿体系的辛本征值和本征解问题,即位移能用同一族的辛本征解组合表示。研究中,采用边界分解的方法和两个不同坐标模拟时间的双哈密顿体系表述的技术,建立子问题间的关联条件,并通过辛叠加方法得到问题的解析解,从而在该类问题形成一种特殊的哈密顿体系方法。研究结果表明,双板受迫振动的共振频率比单板问题更多。事实上所多出的共振频率对应双板的异向振动模态。研究方法为分析纳米板动力行为提供依据,并为解决类似问题提供一种路径和有效方法。


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