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分层介质中弹性波散射和频散的稳定高精度算法

张燕辉  
【摘要】:分层介质中弹性波传播问题是弹性动力学的一项重要研究内容,其相关理论在地球物理、工程勘探、无损检测和复合材料等众多领域具有广泛应用。散射和频散是研究弹性波问题的两个重要方面,本文主要集中在这两个方面的研究开展工作。与各向同性介质相比,各向异性分层介质中波传播问题的求解更加复杂,这主要体现在以下两个方面:(1)一般各向异性介质有21个独立的弹性常数,所有的位移分量耦合在一起;(2)各向异性介质中波的传播方向与能量的流动方向不一致,每层介质中向上和向下传播的波必须通过能量的流动方向进行分离。目前求解分层各向异性介质中波传播问题的数值方法大体上可分为大类。一类是基于连续模型,如传递矩阵法、刚度矩阵法等,但它们在一定条件下可能会发生数值病态,如传递矩阵法在频厚积较大时,会产生精度丢失;刚度矩阵法在频厚积较小时,会产生较大舍入误差,甚至不稳定,而且运用这类方法求解频散关系,最终会归结为求解一个关于频率和波数的超越本征问题,通常需要非常强健的寻根技术和复杂的迭代程序,很容易发生漏根现象。第二类方法是基于离散模型,如有限差分法、有限单元法等,它们克服了从超越方程找根的困难,而是转化为求解一个关于频率和波数的特征值问题,但由于需要离散,结果的计算精度取决于网格的稠密程度,尤其对于高频情况,需要采用非常稠密的网格,才能得到精确的结果,这将导致系统产生更多的自由度,从而降低计算效率。目前的方法很难同时兼顾精度、效率和稳定性三个方面的性能,因此发展既保证计算的精确性、稳定性和高效性,同时又具有广泛适用性的算法求解分层介质中波散射和频散问题具有重要意义。本博士学位论文在哈密顿辛对偶体系框架下,应用混合能矩阵法、精细积分法、Wittrick-Williams(W-W)算法和辛几何方法,建立求解分层介质中波散射系数和频散关系的高精度、高效率的稳定数值方法。主要研究内容如下:1.基于哈密顿矩阵本征理论和混合能矩阵,建立了求解分层各向异性介质中波散射问题的混合能矩阵法。基于哈密顿系统的辛结构,建立了哈密顿矩阵特征向量辛内积与坡印廷矢量之间的关系,从而实现了各向异性介质中向上和向下传播波的精确分离。在此基础上,提出了求解分层各向异性介质中波反射系数和透射系数的稳定混合能矩阵法。通过与传递矩阵法和刚度矩阵法比较,理论分析表明,传递矩阵法和刚度矩阵法分别在频厚积较大和较小时不稳定,而混合能矩阵法对于任意频厚积都稳定。该方法具有广泛的适用性,也可用于求解分层各向异性压电介质中波的反射系数和透射系数。2.结合精细积分法和W-W算法,建立了求解分层各向异性介质中波频散问题的高精度数值方法。分别基于动力刚度矩阵、辛传递矩阵和混合能矩阵,并应用精细积分法和W-W算法,提出了求解分层有限波导介质中导波、分层半无限空间中表面波和分层无限空间中Stoneley波频散关系的三种方法。理论分析表明,三种方法理论上是等价的,但基于混合能矩阵的方法比基于动力刚度矩阵和辛传递矩阵的方法数值上更稳定。通过与半解析有限元法对比证实了基于混合能矩阵的精细积分法和W-W算法对于求解分层介质中波传播问题的性能,该方法具有以下优点:(1)采用混合能矩阵格式,保证了该方法对于任意频厚积都稳定;(2)采用精细积分法,确保该方法具有较高的精度和计算效率;(3)利用W-W算法的本征值计数概念可以计算出任意范围内所需要的本征频率,而且不会遗漏任何本征频率;(4)对于求解分层介质中波传播问题具有广泛适用性,对结构的层数、厚度以及弹性材料属性没有限制。3.基于哈密顿系统的辛结构,扩展应用精细积分法和W-W算法,建立了求解分层各向异性压电-压磁介质中波频散问题的高精度数值方法。对于压电-压磁结构,常用的波动方程形式导致哈密顿矩阵的一个子矩阵不正定,这使得当每层介质划分为足够薄的子层时子层的本征值计数不为零,从而导致W-W算法不能直接应用于求解压电-压磁结构中的波传播问题。针对这一难点,本文基于哈密顿矩阵辛结构引入了辛变换,通过严格的理论分析表明,在执行辛变换之后,可确保每层介质划分足够薄的子层时,子层的本征值计数为零,从而保证了 W-W算法能够被应用。然后再扩展基于混合能矩阵的精细积分法和W-W算法给出了求解分层各向异性压电-压磁介质中波本征频率的高精度数值方法。4.基于辛几何方法和W-W算法,建立了求解带有覆盖层的半无限周期分层结构中表面波频散问题的高效算法。利用辛传递矩阵的性质,将半无限周期分层结构中的SH表面波问题转化到一个单胞上求解,从而极大地提高了计算效率。针对半无限周期分层各向异性结构,本文通过分析有限周期分层结构禁带内的本征值与半无限周期分层结构中表面波之间的关系,将半无限周期分层各向异性结构中表面波问题转化为求解一个由足够多单胞组成的有限周期分层结构禁带内少量的本征值,并利用精细积分法和W-W算法的优势,建立了求解半无限周期分层各向异性结构中表面波问题的高效算法。在此基础上,利用W-W算法的本征值计数,进一步建立了求解带有覆盖层的半无限周期分层各向异性结构中表面波本征频率的高精度和高效率算法。


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