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解大规模非对称矩阵特征问题的一些精化算法

陈桂芝  
【摘要】: 本文研究求解大规模非对称矩阵特征问题的一些精化投影算法、算法的 收敛性以及算法的重新启动等问题.全文共分五章. 第一章介绍大规模非对称矩阵特征问题的来源、解决这类问题的基本方 法以及本学科的发展现状.最后介绍本文所作的工作. 第二章研究精化Arnoldi方法的重新启动问题.对如何构照重新启动的 求解子空间作了两点工作:第一,用所产生的精化Ritz向量的一种巧妙的线 性组合构造出新的Krylov子空间的单位初始向量;第二,在新的子空间中保 留用来逼近所求特征向量的精化Ritz向量.改进后的求解子空间为一增广 Krylov子空间,该空间中包含更丰富的特征向量信息,因此用精化Arnoldi方 法在该空间上求解矩阵特征问题时收敛速度更快.数值试验将这种重新启动 的精化Arnoldi方法与隐式重新开始的Arnoldi方法(IRA)和隐式重新开始的 精化Arnoldi方法(IRRA)进行了比较,数值结果表明这种重新启动方法的有 效性. 第三章首先建立了用调合Rayleigh-Ritz方法求解非对称矩阵特征问题所 得到的调合近似特征对的先验估计式;其次,提出并研究了精化调合Rayleigh- Ritz方法,给出了精化调合Ritz向量的误差界,建立了精化调合Ritz向量与 调合Ritz向量之间差的上下界;第三部分研究精化调合Arnoldi方法.建立 了由该方法所确定的近似特征对残量的先验估计式,给出了精化调合Arnoldi 算法;第四部分讨论精化调合Arnoldi方法的重新启动问题,给出在一特定的 增广Krylov子空间上的精化调合Arnoldi算法;最后对这种算法进行了数值 实验,将其计算结果与隐式重新开始调合Arnoldi方法(IRHA)和隐式重新开 始精化调合Arnoldi方法(IRRHA)的计算结果进行比较,结果表明了这种重 新启动的精化调合Arnoldi方法的有效性. 第四章研究如何求在精化向量u_i(i=1,…,l)张成的子空间上的 Ritz 值θ_i(i=1,…,l),并用其作为所求特征值的近似.当求解子空间是Krylov子 空间时,给出了θ_i与Ritz值λ_i间的误差界,以及新的近似特征对(θ_i,u_i)与 (λ_i,u_i)之间残量的关系式.最后给出了在增广Krylov子空间上如何求精化向 量张成子空间上的u’值的算法,并对其进行了数值试验,数值结果表明这 种选取近似特征值的方法的可行性及有效性. 第五章证明了反序隐式Q-定理.对非对称矩阵A进行Hessenberg分解 V“AV=G,其中G为次对角元为正数的上Hessenbers阵,V为n阶正交 阵.隐式Q一定理表明,只要V的第一列给定,则V和 G是唯一确定的.我 们证明了:只要V的最后一列给定,则V和G亦是唯一确定的.同时我们 研究了截断的反序隐式Q一定理.结果表明了若Arnoldi过程产生的ArnOldi 序列中最后一个向量给定,则Anloldi序列和相关的上Hessenberg矩阵是唯 一确定的.本章还指出了ArnDldi过程的两种形式是等价和—一对应的.


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