网络（图）广义直径的研究

【摘要】： 图的某些参数，如连通度和直径，因为其在图论和组合中固有的重要性及其与通信网络的容错性和传输延迟的关系而得到广泛研究。超大规模集成电路技术和光纤材料科学的发展使我们有能力设计大型并行处理计算机系统和快速、复杂的通信网络。这些系统不仅要求我们研究网络的连通度和直径，而且要研究连接两个节点或两个点集间的内部点不交的多条路径。这自然引导人们把图的直径进行推广。本文主要研究了图的广义直径，特别是熟知的宽直径和Rabin数。 主要工作包括以下几个方面： 1．本文定义了图的广义直径，该定义统一了图的直径，宽直径和Rabin数的概念。 2．研究了k-正则k-连通图、广义Petersen图和置换图的宽直径。 (1)．令 是有n个顶点的k-正则k-连通图｝。Hsu和Luczak在文[43]中对函数f(n，k)的取值作了讨论。本文给出一个作图的算法，利用该算法可以构造有2m个顶点的具有最大k-直径的k-正则k-连通图，并且利用该算法得到了函数f(n．k)的未知的值。 (2)．Petersen图是图论中我们熟知的图，广义Petersen图，记为P(m，a)，是有2m个顶点的图，其顶点集为，边有点对和给出，这里下标的运算都是在模m下的运算．本文证明了P(m，2)的直径和3-直径分别为O(m/4)和O(m/3)。 (3)，用G表示有限简单图，其顶点集为，用S_n表示集合｛1，2，…，n｝上的对称群，a∈S_n．图G的α-生成图，记为P_α(G)，有G的两个不交的拷贝，分别记为G和G′，组成，G和G′有边e_i=v_iv_α(i)相连，P_α(G)也称为置换图。文[34，63]中对置换图的连通度、直径等参数做了研究。本文用图G的宽直径作参数给出了P_α(G)宽直径的上界，并且给出P_α(G)的2-直径和图G的直径之间的关系。 3．图G的w-Rabin数及其广义直径gd_w(G)。 os 阻）网络 G的w－Rabin数，记为 r／G），是指最小的 l，使得对任意的。＋1 个顶点工yi，…．gW存在ie条长至多为l的从。分别到yi，yZ；…，gw的内部 点不交的路．太文对一般的k－正则k－连通图的Rabin数作了研究，证明了n 个顶点的 k－正则 k棚图的 k不abin数至多为 9‘并且当 i。＝Zk—3＋渺一2） 时，该上界是不能改进的．7 间研究T k－正则 k－连通图的广义 k－直径．给出 gd／K）的一些性质 并且证明了 n个顶点的 k－正则 k－连通图的广义 k－直径至多为 n乃，当 n—。 Zk—3＋淋一 2）对，该上界是可以达到的． 4．环网络广泛应用于计算机局域网设计和各种并行处理系统．用N 表示环网络节点的数目，记环网络为qN；上内，…；S；），其中每个节点d和 l＋1，。＋SZ，“－，i＋SI（mod N）分别相连．对 l＝2的情形，已经有了丰富 的结果．本文重点研究了l＝3的情形，即三环网络，给出其直径的上界， 并给出N不太大时，三环网络取得最优的一个条件． 5．网络的可嵌入性是衡量网络注能好坏的一个重要标准，因此如何将 一个较小的网络嵌入到大的网络中去成为网络设计中需要考虑的一个重要 问题．文献［681中作者证明了如何将环网络嵌入到超立方体中，但不幸的是 超立方体网络中不含有长为奇数的圈，因此不能将长为奇数的圈嵌人到超立 方体中．本文定义了折叠式超立方体FH…），证明了拆叠式超立方体网络的 直径约等于超立方体直径的一半，…＋1卜宽直径为 n，比小立方体的个直 径小1．还证明了尸厂…）中包含长为奇数的圈，并给出了一个嵌入长为奇数 的圈到折叠式超立方体网络中的方法． 6