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孤立子方程求解与可积系统

张玉峰  
【摘要】: 本文研究的主要内容包括:C-D对的构造方法与孤立子方程的精确解,包括行波解、周期解;Backlund变换的求法与孤立子间的关系;相似约化与古典Lie群和非古典Lie群方法;孤子族的生成和Lie群结构方程,Hamilton结构及Lax对表示;可积耦合的各种不同构造方法等多个方面。 第二章介绍了C-D可积系统及其在孤立子方程精确求解中的作用,求得了许多有物理意义的非线性演化方程的精确解、奇性解、周期解和有理式解;同时还讨论了生成C-D对的各种方法;研究了利用C-D对(Lax对)构造Darboux变换的方法,作为应用得到了一类Duffing型方程的孤子解。本章最后,给出了含三个位势的等谱问题对应的三类Darboux变换。 第三章主要综述了Backlund变换(BT)的构造方法,包括不含参数的BT和含参数的BT的构造方法。以Benjamin方程为例,给出了含参数的BT的叠加公式以及无穷守恒律的构造方法。 第四章介绍和研究了非线性发展方程的相似约化,以热传导方程为例,说明了非古典Lie群的构造方法;给出了利用非线性变换法求微分方程的相似约化的方法,得到了著名的Boussinesq方程的相似约化;特别地给出了直接约化的方法(CK方法)的改进,求得了广义Burgers方程的各种形式的相似约化,包括行波约化、对数约化、幂形式约化、有理分式约化等,并用非古典Lie群方法一一验证。 第五章介绍和研究了非线性演化方程族的生成及其可积性问题。内容包括几个方面:(1)扩展了屠格式的应用范围,将在loop代数(?)上的屠格式延拓到loop代数(?)上,由此得到了高阶对称约束条件下的约束流的Lax对变换、Hamilton结构、Darboux变换;(2)构造了一个新的loop代数(?),得到了KN族等的可积耦合;(3)给出了构造Lax对的一般方法,再由loop代数(?),求出了TD方程族、广义AKNS族的可积耦合;(4)构造了一个不同于loop代数(?)的另一个新的loop代数(?),由此求出了著名的BPT族的可积耦合。


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