基于静力—几何比拟理论的新型板壳有限元

【摘要】： 由于C~1连续性要求，薄板、薄壳的有限元构造比之平面弹性存在本质上的困难。经过众多研究者数十年的努力，已经有为数可观的板壳单元出现，其中不少是品质优良的。但是，仍然存在一些基本而又不容忽视的问题有待研究解决。在板弯曲单元方面，不可否认的是板单元与平面弹性单元这两个研究领域的发展并不均衡，这一现状是与平面弹性和板弯曲的相似性理论不相协调的，因为该相似性理论表明平面弹性和板弯曲这两个理论体系是同构的。在薄壳单元方面，根本目标是构造在膜变形和弯曲变形分别占主导的壳体考题中都有良好表现的壳单元，但至今没有非常明确的指导理论和实施方案。 这些基本的问题正是本文立论的着眼点和研究的切入点。研究的目的和解决方案首先是利用相似性理论在平面弹性有限元与板弯曲有限元之间建立一道桥梁，则可以将平面弹性中性能良好的单元转化为板弯曲单元。之后可以在此基础上以壳体的静力—几何比拟为指导理论构造新型薄壳单元。平面弹性和板弯曲的相似性是壳体静力—几何比拟的特例，所以在总的意义下本文就是研究基于板壳静力—几何比拟理论的新型板壳单元列式。 本文充分研究了将平面弹性位移法单元转化为板弯曲单元的一般方法。平面弹性单变量位移元具有列式简单、可靠性好的优点。在板弯曲的弯矩函数空间按等价于某个平面弹性位移元的方式列式，应用Legendre变换将所得余能单元变换为势能单元，最后导向具有简单自由度的位移法单元。所得到的板弯曲单元在单元内部满足齐次平衡方程，并且只要原始平面弹性单元能通过常应变分片试验则转换得到的板单元一定能通过常曲率分片试验。 为了克服Legendre变换中对单元柔度阵求广义逆的困难，对于原平面弹性单元是在参考坐标系中列式的情形，本文研究了在弯矩函数空间的混合坐标列式。在物理坐标系中的线性插值函数便于将三个刚体模式分离出来，从而只需计算对称正定子阵的逆，避免了求广义逆的数值困难；在参考坐标系中的高阶插值函数则可保持原平面弹性单元的列式方式。 Legendre变换所得到的势能单元的自由度向量(称为角卷向量)不是具有简单直观几何意义的位移向量。利用平面弹性和板弯曲的相似性，本文实现了角卷向量的辨识并得到了用简单位移向量表示角卷向量的一般方法—曲率堆集法，打通了与有限元通用程序的接口。特别重要的是：这一方法决不破坏被转换的平面弹性单元原本的收敛性，并且至少在渐近的意义下保持了原本的精度水平。应用曲率堆集法可以系统化地推导角卷向量表达式，其中又包含了相当的灵活性，这样，一方面既严格的保证了收敛性，另一方面又允许各种设计以提高单元性能。 应用这一转化方法，本文将如下五个典型平面弹性单元转化为板弯曲单元，它们是：四节点四边形协调元Q4；四节点四边形非协调元QM6；四节点四边形理性元RQ4；八节点四边形单元Q8；六节点三角形单元T6。本文方法列式简单，所得板弯曲单元皆可通过常曲率分片试验、有正确的刚体运动模式并具有与原始平面弹性单元相称的良好精度，从而达到了将平面弹性单元转化为板弯曲单元的目的。 在板弯曲单元新方法的基础上，本文探讨了平板壳单元构造的新思路。在实践上可以将新板弯曲单元与已有的平面弹性单元简单叠合来构造平板壳单元；在理论上则概括为平行列式的概念，即平板壳单元的膜、板两部分在相互平行的位移函数空间和弯矩函数空间上分别列式。平行列式的特点一是膜、板两部分的精度具有适当的可比性，有利于设计膜、板两部分优化组合的高性能平板壳单元；二是膜、板两部分分别是基于势能原理和余能原理的列式，有利于在膜变形和弯曲变形分别占主导的壳体考题中都获得好的结果。因此本文方法对于克服一般单变量平板壳单元存在的精度不高及膜闭锁问题是有益的。根据这一新思路，本文构造了三个平板壳单元并在略为推广的意义下构造了一个基于扁壳静力—几何比拟理论的曲壳单元。这些单元不发生闭锁并具有良好精度。在实践上支持了平行列式的思路。 大连理工 大学博士学位论文 论文的最后四章是板壳单元的后续工作，目的在于对新型板壳单元有一个理论深入并为 进一步的研究的做预备I作。后续工作的一个方面是考察更广范围里的的比拟现象并给出比 拟现象的变分提法一包含应力函数的多变量变分原理：另一方面是研究与柔性壳有相同湘 似构型空间的大位移梁的新型有限元方法，这一方法应用梁的静力学状态空间方程直接导出 单元刚度阵，是结构力学中化杆件两端边值常微分方程为代数方程这一方法的有效延伸。数 值结果表明了新方法的有效性。 总之，本文研究了应用板壳静力一几何比拟理论构造新型板壳单元的方法，给出了一套 行之有效的方案，所构造的板壳单元具有可靠的收敛性和良好的精度。同时本文给出了与静 力一几何比拟相关的多变量变分原理。这样，本文在“变分原理一有限元’的框架中比较充分 地研究了板壳静力一几何比拟理论的意义和应用，在为这一有待开发的理论做初步应用尝试 的同时也为将来进一步的研究奠定了基础。