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NURBS曲面重构中的几何连续性问题

于丕强  
【摘要】: 本文研究NURBS曲面重构中的几何连续性问题。在反向工程、CAD/CAM、计算机辅助几何设计(CAGD)和计算机图形学等领域,一个关键的问题是复杂曲面的重建,所使用的标准工具是NURBS曲面。由于世间物体表面复杂多样,用单片曲面很难精确描述其曲面形状,如果我们将其表面分解成相对较小的曲面片,并用NURBS曲面来拟合这些曲面片,就能比较容易的构造复杂物体的表面模型。物体的表面一般都具有一定的光滑性,因此拟合小曲面片的这些NURBS曲面之间就必须达到一定程度的光滑连接。由于几何连续与具体的参数选取无关,因此在理论研究和工程应用中被广泛采用。本文的目的是研究一些典型的NURBS曲面的几何连续条件,指出节点向量和曲面片的次数对几何连续性的影响。并针对任意拓扑的四边形剖分,给出了构造光滑NURBS曲面的方法,克服了采用所谓的简单共线法处理几何光滑连接的缺陷。 节点向量是内部单节点的NURBS曲面是最简单也是最常用的,本文重点针对单节点的双四次、双五次和双k次B样条曲面及双三次NURBS曲面,运用节点插入技术和Bézier曲面的几何连续理论成果,导出了它们之间的几何光滑拼接条件,同时得到了公共边界曲线所必须满足的本征方程,其中本征方程是NURBS曲面所独有的现象。这些结果对我们改进工程中所使用的NURBS曲面模型有着重要的指导意义。 用NURBS曲面分片逼近物体表面带来的问题就是要处理大量的控制顶点,特别是N面角附近的控制顶点更需要特别处理,因为曲面片之间的几何连续约束在角点处互相缠结。一般不采用整体求解所有角点附近的几何连续约束组成的方程组来调整角点附近的控制顶点,因为这样就丧失局部调整曲面形状的功能。通常都采用“局部”方法来处理角点附近的几何连续约束,即将约束涉及到的控制顶点从相邻曲面片中“剥离”出来,这样调整这些顶点只会影响角点附近的曲面形状。利用“局部格式”构造G~1光滑的曲面模型,一般有两种方式可供选择:一是加细原始剖分将连续性约束局部化以提供足够的自由度;二是根据连续性约束的传播性质适当提高曲面片的次数。本文论证了对剖分不作特殊要求时,内部单节点的B样条曲面要具备这种“局部”调整的特征,双五次是最低的要求。已有的曲面重构方法大多采用Bézier曲面工具,并且采取了加细原始剖分的方式。本文论述的“局部格式”调整方法不对剖分区域施加任何限制,主要采用内部具有二重节点的双四次B样条曲面和单节点的双五次B样条曲面做为拟合工具,给出了“局部”调整的方法,该方法能很好的保持拼接曲面的几何特征,克服了许多已有的重构方法仅采用简单共线法处理几何光滑性的弊端。采用内部具有二重结点的双四次B样条曲面做为拟合工具保证了单片曲面内部是二阶参数连续的,并且适当降低了曲面片的次数,基本上能够满足工程的需要。


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