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Wu-Ritt消元法在偏微分代数方程中的应用

谢福鼎  
【摘要】: 本文以计算机代数和Wu-Ritt消元理论为工具,以构造机械化算法为目的,以源于物理、力学、光学等领域中的非线性问题所对应的非线性偏微分代数方程(组)为研究对象,研究了它们的一些问题,如精确解(孤子解、周期解)、解的完备性(局部意义下)、Painleve检验以及其Taylor级数解。 第一章简单介绍了本文所涉及到的学科的起源和发展过程,以及国内外学者在这些方面所做的工作和已经取得的一些成果。 第二章考虑了非线性偏微分代数方程(组)的精确解的构造方法。首先给出了C-D对和C-D可积系统的基本理论,然后通过构造具体的变换求得了一些方程组的精确解。并在Maple 7平台上编程实现。 第三章利用Wu-Ritt消元理论,讨论了线性偏微分代数方程组的解(局部)的完备性问题,给出了判定其完备性的一个充分必要条件和构造性的算法。并研究了非线性偏微分方程组的解在正则部分的情形。 第四章利用Wu-Ritt消元理论,讨论了偏微分代数方程的Painleve性质。在不求得通项公式的情况下,求出其所有的共振点,利用Wu-Ritt消元理论解决共振方程的相容性问题。并在Maple 7平台上编程实现。以KdV方程和Burgers方程为例说明了算法的可行性。 第五章讨论了偏微分代数方程的Taylor级数解。在特征集的基础上,讨论了其参数导数的构成情况,用有限个点和函数表示了无穷个参数导数的情形。推广了在线性情况下获得的结果,并进一步给出了线性微分理想的维数公式。


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