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共轭梯度算法的全局收敛性研究

连淑君  
【摘要】:本文集中对求解无约束最优化问题的有效方法—共轭梯度法的全局收敛性进行分析。本论文分别就相关FR方法、相关PRP方法、在两种新的Armijo型线搜索下CD、FR、PRP、DY法和共轭梯度法簇的全局收敛性进行了探讨,所得结果包含且推广了前人的有关结果。 第一章介绍了共轭梯度法的基本知识、前人所得的共轭梯度法全局收敛性的部分结果以及本文的主要工作。 第二章提出了两种新的相关FR方法,它们主要表现在共轭梯度法中参数β_k相对于β_k~(FR)的选取上。这里给出了|β_k|与β_k~(FR)之比的两种非常宽松的上界估计值,它是建立在关于发散级数的Abel定理基础上的。新的算法包含并推广了以往文献中所建立的相关FR共轭梯度法。第二章分别在多种不同的线搜索下,证明了新的相关共轭梯度法的全局收敛性。 第三章给出了一个β_k相对于β_k~(PRP)的新的约束条件并在两种Armijo型线搜索之下讨论了相关PRP方法的全局收敛性,其结果包含了Grippo和Lucidi以及袁亚湘和戴彧虹所得的原始PRP方法的全局收敛性。第三章还在一般Wolfe线搜索下得出了带负参数的一般共轭梯度法的全局收敛性,从而使得以往文献中的相关PRP方法的收敛性结果都包含其中,并对相关HS算法进行了讨论。 第四章提出了两种新的Armijo型线搜索,其中的一种线搜索大大简化了Grippo和Lucidi提出的Armijo型线搜索。进而证明了这两种Armijo型线搜索可保证共轭下降法的下降搜索方向的充分下降性。而且在这两种Armijo型线搜索下得到CD法的全局收敛性结果。 第五章讨论了FR方法和PRP方法在第四章提出的两种Armii0型线搜索下的全局收敛性。此外,在这两种Armijo型线搜索下还得出了带负参数的一般共轭梯度法的一般收敛性结果。 第六章在第四章提出的两种Armijo线搜索下,得出对一般非凸函数DY共轭梯度法的全局收敛性,并在这个过程中去掉了第四章中对线搜索参数的某些限制。此外,若函数为严格凸的,则在这两种线搜索及另一种Armijo型线搜索下,均能得到DY共轭梯度法的全局收敛性。 第七章着重讨论一簇共轭梯度法,它可被看作是FR法和DY法的凸组合。在第四 章提出的两种Annijo型线搜索下,针对不同的线搜索参数分别讨论了共扼梯度法簇的 全局收敛性.


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