孤立子与微分几何中某些问题的机械化方法

【摘要】：本文以吴方法(吴代数消元法和吴微分消元法)为工具，研究了孤立子理论的某些问题、可积系统和微分几何中的部分定理。给出了求非线性演化方程精确解(孤子解、周期解、双周期解、有理函数解)的机械化方法；把吴微分特征列法和Reid的理论相结合应用于线性偏微分方程，计算解的规模；把吴微分特征列法应用于微分几何，给出部分定理的机械化证明。 第一章主要介绍了本文所涉及的概念，孤立子理论研究的起源和发展情况，孤立子与微分几何的关系以及国内、外学者在这些方面的工作和已经取得的成果。 第二章介绍了求解非线性偏微分方程的AC=BD模式及其应用。首先给出了C-D对和C-D可积系统的基本理论以及构造C-D对的方法。如何寻找变换是这一部分的重点内容。然后把AC=BD模式应用于微分几何，给出了微分几何中的C-D对和广义C-D可积系统。 第三章研究了齐次平衡法的改进和应用。把它应用于Boussinesq方程并和吴方法相结合，获得了许多新的孤子解和双周期解。把它应用于变系数KdV方程、DLW方程、SK方程、KK方程、KP方程，不仅得到了Bcklund变换，而且得到了更多的精确解。 第四章讨论了求非线性演化方程孤波解的若干方法：包括新的extended-tanh函数方法、扩展Riccati方程方法、射影Riccati方程方法、一般形式的Riccati方程方法，并给出了一般形式的Riccati方程多种形式的解。利用这些方法探讨了一类非线性演化方程，包括Burgers方程、广义Burgers-Fisher方程、Kuramoto-Sivashinsky方程的精确解(包括奇性孤波解，周期解和有理函数解)。进一步研究了高维变系数Burgers方程的类孤子解。在解决问题的过程中吴方法是最重要的基本工具。 第五章研究了非线性偏微分方程的雅可比椭圆函数解(双周期解)的机械化算法。首先提出了改进的Jacobi椭圆函数展开法，它是一种比sine-cosine方法和sn-cn函数法以及双曲函数法更有效更简单的方法。把它应用于组合KdV和mKdV方程，获得了许多雅可比椭圆函数解和其它精确解。然后，我们又提出了第一种和第二种椭圆方程法。特别给出了这两种椭圆方程更多形式的雅可比椭圆函数解，利用这些解，我们获得了一类非线性演化方程，包括耦合KdV方程、耦合mKdV方程的双周期解。在退化情况下，又得到其孤子解。最后，把它应用于高维变系数KP方程，获得了更多的双周期解。 第六章介绍了吴微分特征列法的基本理论及其应用。把它与Reid方法结合，应用于线性偏微分方程，得到了解的规模；把它应用于微分几何，得到微分几何中部分定理的机械化证明。