计算微分方程对称与精确解的机械化算法及实现

【摘要】：本文研究微分方程，特别是在流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性发展方程的(古典、非古典)对称与精确解(孤波解、类孤波解、周期解、类周期解、类多孤波解、有理解)的机械化计算，给出了相应的算法及其程序实现。 第二章在张鸿庆教授提出的C-D对理论框架下考虑微分方程(组)精确解的构造。介绍了C-D对理论的基本内容和思想，总结了构造C-D对的方法，同时结合Ore多项式理论考虑了线性常微分方程(组)的约化、求解问题，从理论上证明了线性常微分方程组C-D对的存在性。给出了计算C-D对的机械化算法，并利用符号计算系统Mathematica实现了该算法。 第三章提出计算非线性发展方程精确解(孤波解、类孤波解、周期解、类周期解、多孤波解、类多孤波解和有理解)的一个机械化算法—变系数广义Tanh函数方法。在Maple平台上实现了该算法。以(3+1)-维Jumbo-Miwa方程、多维耦合Burgers方程、Boiti-Leon-Pempinelli方程以及(2+1)-维Broer-Kaup方程等高维方程和方程组为例，说明了算法和程序的有效性。本章还给出变系数广义Tanh函数方法的一个推广，推广后的算法可以获得非线性发展方程的更多类型的精确解。应用推广后的算法求得了变系数广义KP方程新的精确解。 第四章考虑微分方程(组)对称确定方程组的机械化计算。提出一个按序信息反馈算法，有效克服了古典、非古典对称确定方程组计算过程中出现的中间表达式膨胀问题，提高了对称计算的效率。根据该算法并结合文献[122]关于非古典对称的算法，编制了软件包LIESYM。LIESYM具有适用范围广、效率高、输入数据简单等特点，同时克服了非古典对称计算中容易出现的无穷循环问题。通过几个具体算例说明了算法和程序的有效性。另外，我们还给出了广义Kadomtsev-Petviashvili方程的古典对称群分类，并结合变系数广义Tanh函数方法获得了其群不变解。