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孤立子理论中的若干问题的研究及机械化实现

陈勇  
【摘要】:本文研究了孤立子理论、可积系统、分数微分形式中的若干问题: 1. 构造精确解的机械化实现; 2. Backlund变换; 3. Painleve检验的机械化实现; 4. 无穷维Hamilton系统的反问题; 5. 分数微分形式. 第一章介绍了孤立子理论,数学机械化,Hamilton系统(反问题)以及分数微分形 式研究的历史发展和现状.同时介绍了一些关于这些学科的国内外学者所取得的成果. 第二章以AC=BD的理论模式为指导,考虑了非线性偏微分代数方程(组)的精确 解的构造.给出了AC=BD理论的基本思想, C-D可积理论在微分方程求解中的应 用;然后通过具体的变换给出了构造C-D对的算法,利用符号软件Maple,给出了利用 AC=BD+R带余除法构造精确解的具体算法.最后讨论具有任意阶非线性项的非线性 发展方程A的构造法. 第三章基于将非线性发展方程求解,代数化,算法化,机械化的指导思想,运用吴 方法和符号计算为工具,考虑了非线性发展方程精确解的构造.主要内容为: 1) 运用改进的extended-tanh函数方法求解了广义的耦合的Hirota-Satsuma KdV系统 和耦合MKdV方程,求出了许多新的精确解; 2) 进一步改进了extended-tanh函数方法,并将其应用到带有任意阶非线性项的发展 方程,同时求出了形式更为一般的精确解; 3) 提出了广义的extended-tauh函数方法,并将其应用到SLA方程的精确解构造; 4) 提出了Complex-tan函数方法,并将其应用于构造精确解; 5) 扩展了Jacobi椭圆函数法,并将其应用到求解(2+1) 维色散长波方程; 6) 推广了射影Riccati方程方法,构造了Zakharov-Kuzentsov方程新的精确解; 7) 提出了广义Riccati方程展开法,求得了一类非线性发展方程的类孤立子解. 第四章以符号计算软件Maple和Mathematica为工具,改进了用推广的齐次平衡法寻 求非线性发展方程的Backlund变换的方法,分别研究了两类非线性发展方程的Backlund 变换和精确解: 1) 具有任意阶非线性项的非线性发展方程的Backlund变换; 2) 变系数非线性发展方程的Backlund变换. 第五章基于吴微分消元理论,讨论了非线性偏微分代数方程的Painleve性质.首先 给出了吴微分消元的基本理论与算法,然后介绍了Painleve奇性分析的一般原理,同时 介绍了一个验证P-性质的新算法,在Maple上编程实现了在不求通项公式的情况下,求 出共振点,并利用吴微分消元理论最终判定非线性偏微分代数方程是否具有Painleve性 质。 大连理工大学博士学位论文 第六章研究了无穷维H翻山且ton系统的反间题, l)一些数学物理中的Han山七on系统的正则表示; 2)偏徽分方程组的H越川lton正则系统的有序解析表示. 3)Halnilton正则表示的一个机械化算法. 第七章研究了分数徽积分和分数微分形式,讨论了在原点处对曲线坐标的分数外微 分变换,并获得了从三维卡氏坐标到球面坐标和柱面坐标的分数微分变换规则.


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