基于微分几何学的机器人操作性能的研究

【摘要】：本文应用现代微分几何学的方法,对机器人机构操作性能评价指标和轨迹规划问题进行了研究。将机器人的运动学和动力学性质通过活动标架法和黎曼度量映射为相应的几何曲面,利用该曲面上的体积元素、黎曼曲率和测地线等几何不变量的几何性质,研究机器人的操作性能和最优轨迹规划,构成了本文工作的主线。 本文首先应用现代微分几何的活动标架法,建立了一种新的机器人运动学正解的递推公式和速度递推公式。由活动标架的递推公式,得到了机器人末端执行器上的活动标架,所有活动标架的集合构成了机器人工作空间的几何曲面。将外微分与活动标架法相结合,定义该曲面上的体积元素作为机器人的运动学操作性能评价指标,它是不变量,根据微分几何中体积元素的几何意义,该体积元素反映了机器人末端执行器平移和旋转的综合能力。体积元素越大,机器人的综合操作性能越好,体积元素是关节转角的函数,本文利用该指标确定了机器人的最优操作位姿,然后对体积元素进行积分,得到了一个综合指标。当体积元素为零时,机器人的综合操作性能最差,机器人处于奇异状态,由此可以得到机器人的奇异位姿,传统的机器人奇异性分析是基于雅可比矩阵的行列式为零的。用外微分定义的体积元素形式简洁,计算量小,本文将活动标架法与外微分相结合,使外微分的几何意义能够很好地与机器人的操作性能对应上,解决了外微分无法应用于机器人操作性能分析的难题。 本文分别以机器人的轨迹弧长的平方以及机器人系统的动能为黎曼度量,将机器人的运动学和动力学性质映射为相应的黎曼曲面。该黎曼曲面上的测地线是不变量,它是曲面上两点之间距离最短的必要条件。在此基础上,本文提出了基于测地线的机器人最优轨迹规划方法。运动学曲面上两点之间的测地线对应于机器人两点之间路径最优的轨迹,动力学曲面上两点之间的测地线对应于机器人两点之间动能最优的轨迹。通过解不同黎曼曲面上的测地线的微分方程并将其映射到机器人的各关节变量,充分利用各关节之间的耦合关系,得到了机器人的运动学和动力学最优的轨迹。最后,本文给出了几种二自由度和三自由度机器人的轨迹规划算例,对所得到的运动学和动力学最优轨迹规划结果进行了仿真,验证了基于测地线的轨迹规划方法的正确性。该方法利用测地线直接得到机器人最优轨迹的方程,而常规的最优轨迹规划方法是基于多项式轨迹的数值逼近。另外,该方法是以测地线轨迹的弧长为参变量的非时间参考的轨迹规划方法,它反映了机器人运动轨迹的实时信息,因此,在应对复杂环境时就更具有智能性。 总之,本文利用现代微分几何学中的活动标架法和通过建立黎曼度量,将机器人的运动学和动力学性质映射为相应的几何曲面,结合该曲面上测地线、体积元素和黎曼曲率等不变量的几何性质,将外微分应用于机器人操作性能分析,并提出了一种基于测地线的最优轨迹规划方法,将机器人的轨迹弧长和系统的动能分别用测地线的弧长来表示,通过解测地线的方程直接得到机器人的最优轨迹。