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样条插值适定性与插值逼近问题研究

王晶昕  
【摘要】:在涉及到函数逼近、多元统计、系统控制以及计算机辅助几何设计等许多与 科学计算相关的领域中,函数插值方法都是不可缺少的工具.因此,关于函数插值 的理论与应用方面的研究一直是极受关注的重要课题. 样条Lagrange插值适定性问题指的是:对于给定的样条空间以及定义域中的 若干点亡t1,…,tm及任意m个实数值y1,…,ym,是否在这个样条空间中唯一存在 着一个样条s,使s(ti)=yi,i=1,…,m. 1953年,针对一元n次样条插值适定性问题,I.J.Schoenberg与A.Whitney[22] 给出了著名的Schoenberg-Whitney定理.然而,我们注意到,样条插值的适定结点 组相对于样条节点(或者剖分)的分布特征仍然没有明确的结论,需要进一步探索, 揭示其构成的内在规律,以便更方便于应用.而多元样条插值适定性问题因为剖分 的复杂性还没有很好的结论,即使是对二元一次样条也是如此.另外,构造具有某 些插值性质的拟插值算子对于理论与应用也是很重要的工作.再者,插值与数据点 的采集有关.由于某些实际问题本身就体现出随机性,只能测得随机数据点,因此, 关于随机数据的样条插值的处理问题将是涉及到许多客观实际问题的、在理论以 及应用上都会很重要的课题. 本文围绕关于样条函数插值的上述问题展开研究,主要工作如下: (1) 一元样条Lagrange插值的适定结点组的结构 我们引入局部适定结点组,完全局部适定结点组,最小局部适定结点组以及最 小适定结点组概念,给出了不同于Schoenberg-Whitney定理的关于一元n次样条 插值结点组的适定性的充要条件,证明了如下结论: 一元样条插值的适定结点组是由有限个完全局部适定结点组组成,它们之间 顺次由n-1个样条节点隔开.每个完全局部适定结点组是由一个最小局部适定结 点组平凡扩充而成.而最小局部适定结点组是由最小适定结点组经平凡扩充得到. 最小局部适定结点组的组成只与样条空间的次数有关.它只有有限多种配置方式. 同时,我们还给出了最小(局部)适定结点组的组成的位置配置算法. 这些结论可以用于根据插值结点组相对于样条节点的位置的分布状况对结点 组的适定性作出判断,还可以根据插值结点的位置确定样条结点从而确定样条曲 线,或者达到两条样条曲线自然拼接的目的. 大连理工大学博士学位论文 (2)二元一次样条插值适定结点组构成问题 针对正则三角剖分条件下二元一次样条的特性,我们引入恰当结点组这一与 适定结点组有相同的构造特征的概念,采用图论方法,构造有根的有向树,并进行 适当赋权,定义成本函数与流量函数,找出判断恰当结点组的充要条件,从而找出 二元一次样条函数空间的插值适定结点组的构成规则: 二元一次样条函数空间的插值结点组是适定结点组的充要条件是,这个结点 组是有限个完全局部适定结点组的并.这些局部适定结点组所在的正规三角胞腔 的并是互不相交的连通的多边形闭区域,这些闭区域被有限个由三角胞腔的并构 成的不含网点的强连通区域分隔开来. (3)具有插值性质的拟插值算子 我们给出了运用一个插值算子以及一个拟插值算子构造具有某种插值性质的 拟插值算子的方法,证明了这样构造的算子列的收敛性,给出了几个具体的算子的 例子. 一般地,插值函数曲线(曲面)可以通过给出的型值点,但是可能会发生严重振 荡(比如Lagr二ge插值函数)从而不能达到要求的逼近效果.拟插值方法可以达到 要求的逼近效果,但是不能保证通过给定的型值点.消除振荡,保证插值函数都通 过给定的型值点,并且具有很好的逼近性质自然是人们关心的一个插值逼近问题. (4)随机插值以及随机样条问题 我们从分析结构细梁上的随机载荷对细梁形变的影响入手,引入随机样条概 念,研究并得到了随机样条的插值问题适定性定理以及随机样条依概率收敛的逼 近定理. 许多客观实际问题的数据采集都具有一定的随机性,因此,刻划随机样本点条 件之下的函数拟合或函数逼近就是一个重要的课题.从形式上看,随机样条就是系 数都是随机变量的分段(分片)多项式.但是,由于随机变量带入了更多的信息,随 机样条函数做为一类新的样条函数将会更有效地反映某类事物变化的本质特点, 适用于对相关的实际问题进行更合理的近似描述. 关键词:样条插值,最小局部适定结点组,最小适定结点组,完全局部适定结 点组,恰当结点组,具有插值性质的拟插值算子,随机插值,随机样条函数 一工工一


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