时变种群动力系统解的渐近性态

【摘要】：脉冲动力系统是微分方程,动力系统,控制理论等几个主要的数学分支中最年轻但可能又是目前最有吸引力的几个研究领域之一。脉冲微分方程比相应的微分方程理论丰富,而且它更加精确和实际的刻画了许多自然现象。在理论上,我们结合了离散动力系统,连续动力系统和脉冲动力系统的的相关理论系统的研究所提出模型的各种动力学行为。同时,脉冲动力系统为我们提供许多研究课题。在种群动力学中有许多自然现象(种群的出生,死亡是季节性的离散性)和人为因素(人类对可更新资源周期性的开发)的作用可以用脉冲来描述,而脉冲微分方程恰好是离散干涉的模型的一个自然的一个描述。本文以脉冲微分方程的理论为基础,建立带有脉冲效应的种群动力系统模型,系统地分析了所给出的时变模型的各种动力学行为,并利用数值模拟的方法研究系统的各种复杂现象。 第二章我们提出并研究在时变环境中种群增长,相互作用的时滞效应。通过不等式估计的技巧及构造持续生存泛函给出了非自治的两食饵—捕食者的三种群系统的正解的最终有界。进而,利用不动点定理,M-矩阵理论,对于周期系统讨论正周期解的存在性和吸引性。利用拓扑度的理论给出了具有时变离散时滞的三种群捕食食物链系统正周期解的存在性,得到了时滞的大小对种群的持续生存及系统周期行为的影响。 第三章我们首先提出并系统地研究了具有脉冲效应的周期Lotka-Volterra两种群捕食-食饵系统。此系统存在三种类型的非负周期解:两种群均灭绝的平凡周期解,一个分量消失的半平凡周期解和内部正周期解。利用脉冲微分方程的比较定理研究系统的有界性,进一步利用脉冲微分方程的Floquet的乘子理论得到了平凡周期解和半平凡周期解的渐近稳定性的条件。然后利用拓扑度的理论确定正周期解的存在性。其次,研究具有出生脉冲的两种群功能反应的扩散时滞的竞争系统,讨论了扩散和时滞对正周期解的存在性的影响。 第四章我们建立并系统地分析了脉冲效应对捕食系统持久性和灭绝性的影响。首先,考虑固定时刻综合害虫管理的数学模型,即在固定时刻捕杀一定比例的害虫或喷洒杀虫剂杀死一定比例的害虫和周期投放一个常数的天敌来控制害虫。我们利用脉冲微分方程的Floquet理论,比较定理,和分析的方法得到边界周期解全局稳定性和系统一致持久性的条件,利用脉冲微分方程分支定理建立正周期解存在性和局部稳定性的条件。脉冲综合害虫管理在害虫控制中是十分有效的。其次,对Holling IV功能反应的捕食系统的捕食者引入周期脉冲投入得到系统并研究了一致持续生存和灭绝性。由于具有Holling IV功能反应的捕食系统具 有内部周期震荡,用数值分析方法研究脉冲投放量对系统内部周期震荡的影响, 我们发现脉冲带来复杂的现象拟周期震荡,周期震荡,倍周期分支,混沌,半 周期分支,混沌危机,非唯一动力学等.最后,我们讨论具有脉冲的捕食食物链 系统,也揭示了脉冲带来复杂的现象,这些现象为我们观察生态系统中混沌和吸 引子的共存现象提供了一个可操作的方法. 关键词:脉冲微分方程,时变种群动力系统,拓扑度理论,周期解,持续 生存,复杂性.