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一类非线性偏微分方程若干求精确解方法的研究

曾昕  
【摘要】:本文根据数学机械化的思想,在导师张鸿庆教授“AC=BD”理论的指导下,研究在流体 力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性偏微 分方程的若干求精确解的方法。 第一章介绍了数学机械化的思想与应用的情况;回顾了孤立子研究的历史与发展以及非线 性偏微分方程精确解的若干构造性方法,同时介绍了一些关于该学科领域的国内外学者所取得 的成果。 第二章在“AC=BD”统一理论框架下考虑非线性偏微分方程(组)精确解的构造。给出 了“AC=BD”理论的基本思想和应用,通过具体的变换给出了构造C-D对的算法。 第三章主要介绍了我们推广的一种直接求解方法--广义代数方法。以(2+1) 维色散 长波方程为例,说明了广义代数方法具体的应用。推广后的方法可以获得非线性偏微分方程 (组)的更多类型的精确解(孤波解、类孤波解、周期解、类周期解、有理解)。 第四章考虑非线性偏微分方程的Painleve性质和Backlund变换。介绍了Painleve奇性分 析的一般原理,利用WTC方法证明了(2+1) 维Boussinesq方程具有Painleve性质,并经截 断展开原理获得了方程的Backlund变换;对Backlund变换作了简单介绍,通过对(2+1) 维Boussinesq方程的种子解作适当的未知函数替换,进一步发展了Backlund变换,并得到了方 程形式丰富的精确解(类孤子解,有理解)。


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