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余辛流形及其半不变子流形

王爱齐  
【摘要】:建立子流形上主要的内蕴不变量与主要的外蕴不变量之间的简单关系是子流形理论中一个重要而有意义的研究内容。 20世纪90年代,B.Y.Chen得到了复空间形式(?)~m(c)的子流形M~n上的Ricci曲率张量S与平均曲率平方之间的一个不等式——Chen不等式,并给出了等号成立的充要条件。 后来,许多学者将Chen不等式推广到其它类型的空间上。而余辛流形是一类重要的殆切触度量流形,本文介绍并研究了余辛流形及其半不变子流形,并将Chen不等式的一些结果推广到余辛流形的半不变子流形上,主要结果如下: 定理1设(?)是有殆切触度量结构(Φ,ξ,η,g)的余辛流形,则对任意正交于向量场ξ的切向量场X,Y,Z,W,有 (?)(ΦX,Y,Z,W)+(?)(X,ΦY,Z,W)=0 (?)(ΦX,ΦY,ΦZ,ΦW)=(?)(X,Y,Z,W) (?)(ΦX,X,ΦY,Y)=(?)(X,Y,Z,W)+(?)(ΦY,X,ΦY,X) 定理2 设M是余辛流形(?)的半不变子流形,则接下来的命题相互等价: 1)分布D是可积的; 2)分布D⊕{ξ}是可积的; 3)h(X,ΦY)=h(ΦX,Y),(?)X,Y∈D; 4)g(h(X,ΦY),ΦZ)=g(h(ΦX,Y),ΦZ),(?)X,Y∈D,Z∈D~⊥。 定理3 设(?)(4c)是有常Φ-截面曲率4c的(2m+1)维余辛流形,M是(n+1)维半不变子流形,那么: (ⅰ) 对每一个正交于ξ的单位切向量X,我们有 (a) 当X∈D_p时, Ric(X)≤((n+1)~2)/4‖H‖~2+c(n+2) (b) 当X∈D_p~⊥时, Ric(X)≤((n+1)~2)/4‖H‖~2+c(n-1) (ⅱ) 若H(p)=0,则对正交于ξ的单位切向量X,使得(a)或(b)取等号的充要条件是X∈N_p。 (ⅲ) 对于任意正交于ξ的单位切向量X,(a)或(b)等号都成立的充要条件是点p是全测地点。


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