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粘弹性力学中辛本征解研究

李雪  
【摘要】:本论文以工程结构模型的蠕变现象和应力松弛现象为背景,对粘弹性问题的三种基本问题(平面问题、柱体问题以及厚壁筒问题)的辛本征解进行了研究。研究工作得到了国家自然科学基金(19902014和10202024)的资助。论文通过研究,建立了三种情形下粘弹性问题的哈密顿基本理论体系,即对偶体系。在辛体系下建立了一种辛本征解直接方法,将粘弹性力学求解方法和思路上升到一个新的平台。 论文首先分别讨论了三种情况下粘弹性力学本构关系(Maxwell模型,Kelvin模型和三体固体模型)。通过拉普拉斯变换,将粘弹性问题归结为相空间中类似弹性力学问题。在相空间中引入对偶变量,使问题化为以混合变量组成的全状态辛空间中的控制正则方程和初值边界条件,借助现代辛数学等工具,如辛正交关系和展开原理等对问题进行求解。在相空间中得到了问题的零本征值本征解和非零本征值的本征解,利用对应原理,经过反拉普拉斯变换得到了粘弹性力学的解。 针对粘弹性问题的三种情形下的零本征值和非零值的解析解,讨论了粘弹性平面问题零本征解的拉伸解以及非零本征解,别以Maxwell模型,Kelvin模型和三体固体模型为例,其解的实部和虚部随本征值变化的曲线关系;讨论了粘弹性柱体和厚壁筒扭转问题以三种模型为例的蠕变现象以及应力松弛现象。所得到的应变应力曲线吻合了粘弹性材料的性质,验证了模型的合理性以及解答的正确性,同时也说明了该方法处理此类问题的有效性。


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