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一些非线性演化方程的精确解的构造

谢正  
【摘要】:本文主要研究和分析了下面的内容: 研究了在物理学领域中提出的一些非线性演化方程或方程组的精确解的求解问题。考虑的问题主要为:如何从待求解的方程或方程组出发,寻找有效的变换,将原方程(组)变为简单的、易解的方程,通过求解简单的方程,而获得原方程或方程组的精确解; 详细介绍如下: (1).第二章介绍了非线性微分方程精确求解的一般原则,并通过实例说明了这一原则的使用方式和适用范围。 (2).第三章介绍了进一步推广的投影Riccati方程法,将其用于两个不同形式的(2+1)-维破裂孤子方程和(2+1)-维Burges方程,得到了这些方程的孤立子解和类孤立子解。并通过引入一个新的变量,将其中一个(2+1)-维破裂孤子方程简化为一个单个方程,这时方程不仅维数降低,而且阶数也降低。这使得近年来使用的非常有效的推广投影Riccati方程法等求解法使用起来更简单,特别是在求这类非线性演化方程组的类孤波解时,其求解的简炼程度十分显著,甚至比求原方程的行波解的原有方法更简单。 本文的安排如下,第一章简要的介绍了非线性演化方程(组)精确求解法的发展情况。第二章以张鸿庆教授于1978年提出的偏微分方程求解的构造性的机械化算法,即”AC=BD”的理论模式为指导,介绍微分方程求解的一般原则及其在非线性演化方程精确求解中的应用。第三章就上面所提到的(1)-(2)这两个方面进行详细的讨论。


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