一类非线性发展方程的非行波解的构造

【摘要】：本文根据吴文俊院士提出的数学机械化的思想,在导师张鸿庆教授“AC=BD”理论的指导下,以构造性的变换和符号计算为工具,研究在弹性力学、流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性发展方程的若干求精确解的方法。 第一章介绍了孤立子理论的历史与发展,数学机械化思想与计算机代数,以及非线性发展方程的若干求解方法,如反散射方法,对称与微分方程约化,Backlund变换和Darboux变换方法,Hirota双线性方法,Painleve奇性分析法,AC=BD框架下的精确求解等。 第二章介绍了张鸿庆教授提出的“AC=BD”理论,并在“AC=BD”理论框架下考虑非线性发展方程(组)精确解的构造。给出了“AC=BD”理论的基本思想和应用,通过具体的变换给出了构造C-D对的算法。 第三章主要介绍了我们推广的两种直接求解非线性发展方程的方法-Extended F展开法和一般的Riccati方程展开法。并将它们分别应用到(2+1)维KdV方程,(2+1)-维breaking soliton方程以及(2+1)维Broer-Kaup方程,获得了这些方程许多新的精确解(孤波解、类孤波解、周期解、类周期解、有理解等)。 第四章我们首先介绍了Painleve奇性分析的一般理论和截断展开方法。然后运用Laurent级数展开法对(2+1)-维Nizlmik-Novikov-Veselov方程的解进行Laurent级数有限截断展开,从而得到了它的Backlund变换,利用符号计算,进一步得到了该方程形式丰富的精确解(包括类孤子解,有理解等)。