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求解凸不等式组的一个次梯度算法

常清  
【摘要】:在数学与物理科学的众多研究领域中,很广泛的一类问题要求在凸集的交集中找到一点。这类问题通常被称作凸可行问题。凸可行问题的应用广泛存在于最佳逼近理论、离散模式图象重构、连续模式图象重构和次梯度算法问题之中,解决这类问题较常用的方法是投影算法。 本文针对凸可行问题中的凸不等式组,结合凸可行问题投影算法的思想与优化算法中下降迭代算法,利用凸不等式组自身特点,给出了凸不等式组求解算法的一个收敛性证明。同时介绍了一个如何求解凸不等式组严格解的算法。 在第四和第五章中,介绍了论文主要结果,可概括如下: 第三章:对凸不等式组利用极大值函数将问题转化为求解凸不定方程问题,然后根据下降迭代算法将距离函数作为下降函数,结合次梯度的几何性质证明算法生成的数列收敛于凸不定方程的解,即凸不等式组的解。给出的几个数值试验说明算法的有效性。 第四章:在一些凸不等式组问题中,要求得到严格解。但是,由于算法本身的结构,只能求得非严格解。我们发现Bertsekas(1982)用于计算非光滑精确罚函数的下降方向的方法可以用来计算凸不定方程零点处的下降方向,该方法只须求解一个二次规划,从而求得凸不等式组严格解。本章给出该算法的主要证明。


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