图的标号问题的研究

【摘要】：图论是数学的一个分支,特别是离散数学的一个重要分支,它在物理、化学、天文、地理、生物学,尤其是计算机科学中有非常广泛的应用。 本文主要研究图的标号问题。图的标号问题起始于1966年A.Rosa的著名的优美树猜想。一个图的顶点标号是图的顶点集到整数集(一般的也可以是一个交换群)的映射,而边标号则是图的边集到整数集的映射。根据对映射的不同的要求,产生了各种各样的图的标号问题。 本文利用算法设计与分析中的回溯与分支限界的理论设计了搜索图的标号的算法,将计算机构造性证明与数学证明相结合,研究了三类标号:优美标号、调和标号和幻类型标号,分别解决了三类标号中的一些问题和猜想。 优美标号在射电天文学及计算机网络理论中有着广泛的应用。1979年,K.M.Koh等人猜想:当且仅当nt≡0,3(mod 4)时C_n~(t)图是优美图。本文利用C_n~(t)图的对称性,对顶点进行合理的分组,采用顶点的分布规律制约边的分布规律的策略,给出了搜索C_n~(t)图的优美标号的有效的分支限界条件,搜索到了n=7,9,11时C_n~(t)图的优美标号,并用数学方法严格证明当n=7,9,11,t为任意满足条件的正整数时,K.M.Koh的猜想成立。 调和标号是为解决纠错码的问题而由优美标号衍变而来的。Deb和Limye提出猜想:所有的多倍壳图都是调和图。本文分析了多倍壳图的特点,给出了合理的图的顶点的分组方式及有效的限界策略,搜索到平衡的四倍壳图的调和标号,并证明了Deb和Limye猜想对平衡的四倍壳图成立。此外利用本文给出的搜索图的调和标号的限界策略,还证明了齿轮图是调和图。 幻类型的标号是从数论中幻方演化出来的一类图的标号。超边幻和标号(super edgemagic total labeling)是其中一种条件严格的标号,与其它类型的标号有着广泛的联系。研究此类标号,有助于解决其他类型的标号问题。本文把超边幻和标号问题化简为等价的一类问题,并给出合理的分支限界条件。针对一类重要的三正则广义Petersen图P(n,k)证明了它的幻常数为(11n+3)/2,并利用图的标号的算法,搜索到P(n,3)的超边幻和标号,证明了P(n,3)为超边幻和图。(a,d)-反边幻标号((a,d)-antimagic labeling)是另一种幻类型标号。本文对广义Petersen图P(n,k)的(a,d)-反边幻标号进行了研究,利用图的标号的算法,证明了当k=3时Baca和Hollander等人提出的猜想:广义Petersen图P(n,k)有((3n+6)/2,3)-反边幻标号成立。