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Riemann-Zeta函数的超几何级数方法和组合恒等式

郑德印  
【摘要】:本文在超几何级数的理论基础上,利用经典分析和形式幂级数的方法,研究Riemann-Zeta函数封闭性公式,无穷级数求和公式以及关于Pascal矩阵等组合计算问题。其具体内容如下: 1.从两个三角函数的超几何级数展开式出发,利用导数算子和对称函数,建立了众多的含有Harmonic数的无穷级数求和公式。由于使用的公式含有两个自由变量,有充分的灵活性,使我们得以成功地对这类求和公式进行全面而系统的研究。特别地,利用Gauss超几何级数得到一系列分母含有中心二项式系数的无穷级数封闭和式,从而从本质上推广了Elsner的相关结论。 2.1997年,初文昌发现了研究Riemann-Zeta函数的超几何级数方法,作为这一方法的继续和延伸,我们利用Gauss、Kummer和Dixon求和公式,建立了一系列关于ζ(5)和ζ(6)的求和公式。这些形式简洁内容丰富的结果,再次证明了超几何级数方法确实是研究Riemann-Zeta函数的有效工具。 3.对Gauss,Whipple和Watson的超几何级数求和公式作适当的参数替换,使得我们能够研究另一类型的无穷级数求和公式,它们的通项是关于中心二项式系数和(高阶)Harmonic数的简单线性函数。这些函数均与Riemann-Zeta函数密切相关,而且在本质上区别于前面研究的类似级数。 4.研究了Pascal矩阵和对称Pascal矩阵的q-模拟。证明了q-Pascal矩阵能被分解为一些特殊矩阵的积,给出了对称q-Pascal矩阵的Cholesky分解,明确了q-Pascal矩阵和对称q-Pascal矩阵之间的密切关系。进一步地把这些矩阵推广到具有一个或两个变量的函数矩阵,并且计算了这些矩阵的行列式值。对于单变量q-Pascal函数矩阵建立了它的整数次幂及作为指数函数的表达式。


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