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周期时变种群系统研究及应用

王凤筵  
【摘要】:脉冲动力系统是微分方程,动力系统,控制理论等几个主要的数学分支中最年轻但可能又是目前最有吸引力的几个研究领域之一。脉冲微分方程比相应的微分方程理论丰富,而且它更加精确和实际的刻画了许多自然现象。在理论上,我们结合了离散动力系统,连续动力系统和脉冲动力系统的的相关理论系统的研究所提出模型的各种动力学行为。同时,脉冲动力系统为我们提供许多研究课题。在种群动力学中有许多自然现象(种群的出生,死亡是季节性的离散性)和人为因素(人类对可更新资源周期性的开发)的作用可以用脉冲来描述,而脉冲微分方程恰好是离散干涉的模型的一个自然的一个描述。本文以脉冲微分方程的理论为基础,建立带有脉冲效应的种群动力系统模型,系统地分析了所给出的时变模型的各种动力学行为,并利用数值模拟的方法研究系统的各种复杂现象: 第二章我们分析了一类状态依赖脉冲微分方程dx/dt=f(x,y),dy/dt=g(x,y),△x=-px,△y=b。我们得到了关于这类脉冲微分方程周期解和稳定性方面的一些有用的结论。作为应用我们可以分析一维周期脉冲脉冲微分方程可以转化为这类方程来处理。我们应用这一结果分析了单种群周期脉冲收获的最大承受生产。进一步,我们分析了一个单种群阶段结构的收获模型的周期解的唯一性和稳定性。 第三章我们提出了自治和周期非自治的价值规律控制下的单种群收获模型。应用Dulac函数我们证明自治系统的正平衡态的全局稳定性。对于周期非自治系统应用度理论和连续性定理,我们证明了周期系统的正周期解的存在性。最后应用Lyapunov泛函,我们得到保证周期解唯一性和稳定性的充分条件。 第四章我们根据癌细胞和正常细胞的竞争关系结合药物的扩散模型提出了药物注射治疗模型。我们证明了一种情形时系统有稳定的边界周期解,而在另外的情形系统有稳定的边界周期解,我们可以计算周期解的T-周期平均的值。可以证明这样的系统保持了竞争系统的所有性质。基于这些研究,我们提出了脉冲注射的有效线和中毒线并给出了优化注射策略。 第五章我们研究了食物链系统的顶端投放模型,利用Floquet定理和小参数扰动技巧,我们得到了中级捕食者灭亡边界周期解脉冲周期的临界值。利用脉冲微分方程的比较定理研究了系统的一致持久生存的条件,数值模拟了这样简单的脉冲系统的复杂性。我们利用脉冲微分方程的比较定理和Floquet理论及分析方法研究了脉冲效应对捕食系统的动力系统的性质。数值模拟表明脉冲带来许多复杂的现象,如:周期震荡,混沌,周


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