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最大团问题的熵正则化方法研究

曹宏举  
【摘要】:最大团问题是组合优化中的一个经典的NP-完全问题。此问题自被人们发现之后,广为研究和应用。但是因为问题本身的复杂性,所以人们将研究的重点放在了问题的近似计算上,即启发式算法,并且得到了一系列的研究成果。 最大团问题有相当多的等价的数学描述,并且针对不同的模型具体的研究方法也有一定的差别。本论文的研究是基于1965年Motzkin和Straus给出的一个二次连续化模型。该模型的优点就是将最大团问题的研究方法和工具推进到了连续的领域。在此问题模型的基础上,针对该模型中因为图的邻接矩阵在一般的情况下多是退化矩阵而导致的病态,人们进行了一系列处理,并且得到了不错的结果。 对于M—S模型,它的另外一个优点,或者说更为重要的是,该模型的约束条件表示为一个单纯形的形式。根据该形式,我们可以运用信息论的知识来进行研究。正是基于此,我们给出了最大团问题的信息论方法——熵函数方法和叉熵函数方法,以及D函数正则化方法。其中我们在第三章中给出的是熵正则化方法和叉熵正则化方法,第四章给出的是D函数正则化方法,这两章是本文的主要工作,我们分别从模型建立、模型分析和算法设计三部分展开论述。为了方便起见,在第五章,我们给出了这两种方法的简单对比、数值试验及简单分析。由此可以说明这两种方法可以减轻原模型的病态,初步的数值试验表明与其他类似的复杂方法相比较,这两种方法可以得到类似的结果,从而出就说明了方法的有效性,是值得进一步研究的两个方向。


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