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球面和环面上的样条函数

苏延辉  
【摘要】:由于现实世界中的各种曲面均可看作黎曼面,从而在任意黎曼面的某参数区域上构造样条函数在实际应用中具有基本的重要性,广泛应用于造型设计、几何设计、图形学等。在文章[3]中,证明了在黎曼面上样条的存在性等价于黎曼面上仿射结构的存在性,并给出了样条建立的框架。同时也指出了样条函数的存在性与黎曼面的结构有着深刻的关系。而文章[3]是通过对任意黎曼面进行三角剖分后,利用变分方法和共形不变量解决的。 本文研究了球面去掉北极点S~2\{(0,0,1)}以及标准环面T~2的情形下样条函数的具体建立过程。由于球面去掉北极点以及标准环面都有标准的结构,因而可以不用做剖分,而直接或间接得到它的全纯1-形式,从而在它们上面建立仿射坐标系,最终建立其上的样条函数。 本文包括以下几方面的工作: 1.对于球面情形,证明了S~2\{(0,0,1)}到C的全纯双射在相差一个仿射变换下是唯一的。而在仿射变换下,样条函数保持不变,从而可以得到S~2\{(0,0,1)}上的本质上唯一的仿射结构。对于环面情形,证明了环面上的仿射结构在本质上也是唯一的。 2.详细建立了球面去掉北极点S~2\{(0,0,1)}以及标准环面T~2的仿射坐标卡集,并建立了定义在它们上面的样条函数。 3.分析了样条函数在球面和环面的紧支集上的稳定性。指出,黎曼面上紧支集上的样条函数是稳定的,对于环面情形则是整体稳定的。


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